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Cours de terminale

8 - Nombres complexes


Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a+bi, où a et b sont des nombres réels et i un nombre imaginaire tel que i²=-1.

Les nombres complexes ont été inventés à partir du XVIème siècle pour représenter les solutions d'équations qui ne possèdaient pas de solutions dans R. Par la suite, ces nombres furent de plus en plus utilisés par les mathématiciens et les physiciens, qui leur trouvèrent beaucoup d'avantages, jusqu'à devenir incontournables dans les sciences modernes.

Le nombre a s'appelle la partie réelle du nombre complexe et le nombre b la partie imaginaire.


Calcul avec des nombres complexes

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément leurs parties réelles et imaginaires.

Exemple : (2+3i)+(4+5i)=6+8i.

Produit

Pour calculer le produit de deux nombres complexes on utilise la double distributivité et la propriété i²=-1.

Exemple : (2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i²=-7+22i.

Quotient

Pour calculer le quotient de deux nombres complexes on multiplie d'abord les deux nombres par le conjugué du deuxième nombre puis on simplifie le résultat. Le conjugué d'un nombre complexe a+bi c'est le nombre a-bi.

Exemple :

calcul conjugue nombre complexe


As-tu compris?

Ecris le nombre complexe nombre complexe sous la forme a+bi, appelée forme algébrique.

+ i




Nombres complexes dans le plan

Comme les nombres complexes ont deux composantes (partie réelle et partie imaginaire) on peut les placer dans un repère en inscrivant la partie réelle sur l'axe des abscisses et la partie imaginaire sur l'axe des ordonnnées.

repère plan nombre complexe

On ne parle plus de coordonnées mais d'affixe. Le point M a pour affixe 3+i.


Module et argument

Le module d'un nombre complexe z représenté par un point M est noté |z|. C'est la distance OM.
Son argument est l'angle orienté définition argument nombre complexe.

Pour un nombre complexe z=a+bi, on a toujours

formule module et argument


Ces formules proviennent du théorème de Pythagore et de la trigonométrie dans le triangle ci-dessous.

repère plan nombre complexe



Remarque
La connaissance du module et de l'argument permet d'écrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique forme trigonometrique et sous sa forme exponentielle forme exponentielle.


Propriétés
Quelques propriétés du module et de l'argument:

propriétes module et argument nombres complexes



Distances et angles

Nous allons voire deux formules qui permettent de calculer des distances et des angles dans le plan complexe.

1. Distances

Considérons deux points A et B d'affixes respectives zA et zB.
On définit l'affixe du vecteur vecteur par le nombre zB-zA (formule similaire aux coordonnées d'un vecteur).

Plaçons maintenant un point M tel que affixe point c.

affixe point dans plan complexe

Comme affixe point c on a zB-zA=zM-zO, donc zM=zB-zA.
Donc |zM|=|zB-zA|.

De plus |zM|=OM et OM=AB donc :

equation math


2. Angles

Ajoutons maintenant deux points C et D d'affixes respectives zC et zD et N le point tel que égalité vecteurs.

plan complexe math

Par définition de l'argument, equation math. Comme zM=zB-zA on a equation math.
De même, calcul nombres complexes math donc calcul nombres complexes math.

De plus, par relation de Chasles pour les angles, calcul nombres complexes math. Donc :

calcul nombres complexes math

Donc calcul nombres complexes math

Retenons plutôt cette formule sous la forme :

formule calcul angles complexes





Equation du deuxième degré

Nous avons vu en première qu'une équation du deuxième degré admet toujours 0, 1 ou 2 solutions.

Si on considère, dans le cas où delta est négatif, qu'il est possible de calculer la racine de delta en utilisant les nombres complexes, alors une équation du deuxième degré admet deux solutions lorsque delta est négatif.

Ces solutions sont equation deuxième degré complexe et equation deuxième degré complexe.





>>> Droites et plans de l'espace >>>


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