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Cours de seconde

3 - Les fonctions

Une fonction est une sorte de machine à laquelle on donne des nombres et qui en retourne d'autres.

Les fonctions décrivent comment des variables se comportent par rapport à d'autres (population d'animaux en fonction de la population de leurs prédateurs, luminosité d'une étoile en fonction de sa distance et de son âge...). L'étude des fonctions permet de faire des prévisions ou des optimisations pour résoudre des problèmes particuliers en sciences ou en économie.

Ce cours fait suite à celui sur les fonctions en cinquième (notations, calcul d'image), à celui sur les fonctions en quatrième (représentation graphique d'une fonction, notion d'antécédent) et à celui sur les fonctions en troisième (calcul et lecture d'antécédents, fonctions affines).

Dans ce cours nous allons voir ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, son tableau de variation, comment faire un tableau de variations et nous allons étudier deux fonctions particulières : la fonction carré et la fonction inverse.




Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x).

Exemples

L'ensemble de définition de la fonction fonction est ensemble de définition.
L'ensemble de définition de la fonction fonction est ensemble de définition.
L'ensemble de définition de la fonction fonction est ensemble de définition. (pourquoi)

Comment déterminer l'ensemble de définition

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction:

1. S'il y a une racine carrée
Si la fonction contient une racine carrée alors il faut que l'expression sous la racine soit positive pour qu'on puisse calculer les images. Pour fonction on commence par résoudre l'inéquation g(x)≥0. L'ensemble de définition est l'ensemble des solutions de cette inéquation.

2. S'il y a un quotient
Si la fonction contient un quotient alors il faut que le dénominateur soit différent de zéro pour qu'on puisse calculer les images. Si fonction on commence par résoudre l'équation h(x)=0. L'ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels moins les éventuelles solutions de cette équation.

3. Autres cas
Pour toutes les autres fonctions que vues en seconde, s'il n'y a pas de racine carrée ni de quotient l'ensemble de définition est ensemble de définition.


Exemples
1. Pour fonction on résout l'inéquation 14-7x≥0.
On trouve x≤2 donc D=]-∞;2].

2. Pour fonction on résout l'équation 2x-8=0.
On trouve x=4, donc D=]-∞,4[U]4;+∞[.



Entraînement

Quel est l'ensemble de définition de la fonction fonction ?

Écriture : Écris R pour reels et inf pour infini.

D =



Variation de fonction

Il y a du vocabulaire spécifique pour dire quand la courbe d'une fonction monte et quand elle descend.

Fonction croissante

Si sur un intervalle de l'axe des abscisses la courbe d'une fonction monte alors on dit que cette fonction est croissante sur cet intervalle. Une fonction croissante conserve l'ordre des images : si a et b sont deux nombres tels que a<b alors f(a)<f(b).
On peut ausi dire qu'une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre des images.

fonction croissante

Fonction décroissante

Si sur un intervalle de l'axe des abscisses la courbe d'une fonction descend alors on dit que la fonction est décroissante sur cet intervalle. Une fonction décroissante change l'ordre des images : si a et b sont deux nombres de cet intervalle tels que a<b alors f(a)>f(b).
On peut dire qu'une fonction décroissante est une fonction qui change l'ordre des images.

fonction décroissante



Petite question

Sur quel intervalle la fonction représentée ci-dessous est-elle décroissante?

(Utiliser seulement des nombres entiers)

fonction



Tableau de variation

Afin de représenter les variations d'une fonction on utilise un tableau de variation.

Un tableau de variation est un tableau composé de deux lignes et de plusieurs colonnes. Sur la première ligne sont inscrites les valeurs de x de l'ensemble de définition de la fonction, et sur la deuxième des flèches représentant les variations pour les valeurs de x correspondantes au dessus.


Comment faire un tableau de variation

tableau de variation



Fonction carré, fonction inverse

Fonction carré

La fonction f:x↦x² dont nous avons tracé ci-dessus le tableau de variation, s'appelle la fonction carré.

Sa représentation graphique s'appelle une parabole.

fonction carré



Fonction inverse

La fonction fonction carrée est la fonction inverse.

Sa représentation graphique s'appelle une hyperbole.

fonction inverse




>>> Les équations >>>


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