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Cours de seconde

3 - Les fonctions

Nous avons déjà vu les fonctions au collège : en cinquième, nous avons vu des notations et le calcul d'images, en quatrième la représentation graphique d'une fonction et la notion d'antécédent d'un nombre par une fonction. En troisième, nous avons vu le calcul et la lecture des antécédents ainsi que les fonctions affines et linéaires.

Dans ce cours, nous allons voir ce qu'est l'ensemble de définition d'une fonction, son tableau de variation, comment faire un tableau de variation et nous allons étudier deux fonctions particulières : la fonction carré et la fonction inverse.

Les fonctions sont omniprésentes dans toutes les sciences, car elles décrivent comment des variables se comportent par rapport à d'autres : par exemple, une population d'animaux en fonction de la population de leurs prédateurs, la luminosité d'une étoile en fonction de sa distance et de son âge, l'aire d'une figure en fonction de la longueur d'un côté, etc.

L'étude des fonctions sert à faire des prévisions et des optimisations dans le cas de problèmes particuliers en sciences et en économie.



Ensemble de définition

L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x).

Exemples

L'ensemble de définition de la fonction fonction est ensemble de définition.
L'ensemble de définition de la fonction fonction est ensemble de définition.
L'ensemble de définition de la fonction fonction est ensemble de définition. (pourquoi)

Comment déterminer l'ensemble de définition

Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction :

1. Si la fonction contient une racine carrée
Si la fonction contient une racine carrée, alors il faut que l'expression sous la racine soit positive pour qu'on puisse calculer les images.
Pour fonction, on commence par résoudre l'inéquation g(x)≥0.
L'ensemble de définition est l'ensemble des solutions de cette inéquation.

2. Si la fonction contient un quotient
Si la fonction contient un quotient, alors il faut que le dénominateur soit différent de zéro pour qu'on puisse calculer les images.
Pour fonction, on commence par résoudre l'équation h(x)=0.
L'ensemble de définition est l'ensemble des nombres réels moins les éventuelles solutions de cette équation.

3. Autres cas
Pour toutes les autres fonctions vues en seconde, s'il n'y a pas de racine carrée ni de quotient, l'ensemble de définition est ensemble de définition.


Exemples
1. Pour fonction, on résout l'inéquation 14-7x≥0.
On trouve x≤2 donc D=]-∞;2].

2. Pour fonction, on résout l'équation 2x-8=0.
On trouve x=4, donc D=]-∞,4[U]4;+∞[.



Entraînement

Quel est l'ensemble de définition de la fonction fonction ?

Écriture : Écris R pour réels et inf pour infini.

D =



Variation de fonction

Voyons maintenant les variations de fonctions.

Fonction croissante

Si, sur un intervalle de l'axe des abscisses, la courbe d'une fonction monte, alors on dit que cette fonction est croissante sur cet intervalle.
Une fonction croissante est une fonction qui conserve l'ordre des images : si a et b sont deux nombres tels que a<b, alors f(a)<f(b).

fonction croissante

Fonction décroissante

Si, sur un intervalle de l'axe des abscisses, la courbe d'une fonction descend, alors on dit que la fonction est décroissante sur cet intervalle.
Une fonction décroissante est une fonction qui change l'ordre des images : si a et b sont deux nombres tels que a<b, alors f(a)>f(b).

fonction décroissante





Petite question

Sur quel intervalle la fonction représentée ci-dessous est-elle décroissante?

(Utiliser seulement des nombres entiers)

fonction



Tableau de variation

Pour représenter et visualiser les variations d'une fonction, on utilise un tableau de variation.

Un tableau de variation est un tableau composé de deux lignes et de plusieurs colonnes :

La première ligne contient les valeurs de l'ensemble de définition et les valeurs pour lesquelles les variations changent.

La deuxième ligne contient des flèches qui indiquent le sens de variation de la fonction pour les valeurs de x correspondantes sur la première ligne.


Comment faire un tableau de variation ?

tableau de variation



Fonction carré, fonction inverse

Fonction carré

La fonction f:x↦x² s'appelle la fonction carré.

Nous avons tracé ci-dessus son tableau de variation.
Sa courbe est une parabole.

fonction carré



Fonction inverse

La fonction fonction carrée est la fonction inverse.

Sa courbe est une hyperbole.

fonction inverse




>>> Les équations >>>


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