Cours de première

2 - Équations et inéquations

Dans ce cours, nous allons d'abord voir la méthode générale pour résoudre des équations du deuxième degré.
Nous verrons ensuite des méthodes particulières pour résoudre certaines équations du deuxième ou du troisième degré.
Pour terminer, nous verrons la méthode pour résoudre des inéquations du deuxième degré.

Résolution d'une équation du deuxième degré

Une équation du deuxième degré est une équation formée par des termes avec des x², des x et des nombres.
Par exemple, 2x²+3x+4=0 est une équation du deuxième degré.

Les équations du deuxième degré permettent de résoudre des problèmes en sciences physiques, en sciences naturelles et en économie.

En seconde, nous avons vu comment résoudre une équation du deuxième degré lorsqu'une factorisation est possible, en utilisant un facteur commun ou une identité remarquable : on se ramène alors à une équation-produit. Nous allons maintenant apprendre à résoudre des équations de la forme ax²+bx+c=0 quels que soient les nombres a, b et c.

Considérons l'équation ax²+bx+c=0. Nous devons chercher à exprimer les éventuelles solutions de cette équation en fonction des coefficients a, b et c afin d'obtenir des formules permettant de calculer les solutions à partir de ces trois coefficients. Pour cela, commençons par factoriser l'expression de gauche afin d'obtenir une équation-produit.

Technique

1. On factorise par a (a≠0, car sinon, ce serait une équation du premier degré).

2. On multiplie et on divise le terme du milieu par 2 puis on ajoute et on soustrait afin de faire apparaître le résultat du développement de la première identité remarquable.

3. On factorise avec la première identité remarquable et on simplifie ce qui reste à droite.

Forme canonique

Pour simplifier la suite du calcul, posons Δ=b²-4ac. (Δ est une lettre grecque qui se lit "delta").

On obtient , puis en appliquant la distributivité avec a, on obtient :

Cette expression s'appelle la forme canonique de ax²+bx+c.

Elle permet de faire apparaître les coordonnées du sommet S de la parabole :

Différents cas

Reprenons la forme .
Nous remarquons que :

• 1. Si Δ<0, l'équation n'a pas de solution, car la différence d'un nombre positif et d'un nombre strictement négatif ne peut pas être nulle.
• 2. Si Δ=0, l'équation devient . Donc : .
• 3. Si Δ>0, nous pouvons faire une nouvelle factorisation, en utilisant cette fois la troisième identité remarquable.
  On fait d'abord apparaître la différence de deux carrés :
  Puis on factorise : .
  L'expression .s'appelle la forme factorisée de ax²+bx+c.
  En résolvant l'expression factorisée (c'est une équation-produit), on obtient deux solutions qui sont et .

Conclusion et méthode de résolution

Pour résoudre une équation de la forme ax²+bx+c=0, on pourrait faire tous les calculs ci-dessus en remplaçant a, b et c par les coefficients de notre équation, ce qui marcherait, mais serait très long. Pour gagner du temps, on utilisera directement les formules ci-dessus avec la méthode suivante :

1. On calcule le nombre Δ=b²-4ac.
2. On regarde le signe de delta.
- Si Δ<0, l'équation n'a pas de solution.
- Si Δ=0, l'équation possède une solution que l'on calcule avec la formule .
- Si Δ>0, l'équation possède deux solutions que l'on calcule avec les formules et .

Exemple

Pour l'équation -2x²+3x+4=0 :

1. On calcule delta. .
2. Comme delta est positif, il y a deux solutions : et .

Cas particuliers : à partir d'une solution connue

Nous allons maintenant voir deux techniques qui permettent de calculer rapidement la deuxième solution d'une équation du deuxième degré, sans utiliser le lourd calcul de Δ et de x₂, lorsqu'on parvient à deviner la première solution. La deuxième technique permet de résoudre certaines équations du troisième degré, comme nous allons le voir. Enfin, nous verrons comment résoudre certaines équations du quatrième degré.

Avec la somme ou le produit des racines

Inéquation du deuxième degré

Nous allons maintenant apprendre à résoudre des inéquations du deuxième degré.
Ce sont des inéquations de la forme ax²+bx+c≤0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c>0 ou ax²+bx+c≥0,
Pour cela, commençons par nous intéresser à l'allure de la courbe de la fonction f(x)=ax²+bx+c en fonction de ses coefficients.

Allure de la courbe de f(x)=ax²+bx+c

Une fonction se représente par une courbe appelée parabole.

Si le nombre a devant x² est positif, le sommet est en bas et les branches sont tournées vers le haut.
Sinon, c'est le contraire.

La parabole touche l'axe des abscisses autant de fois que l'équation ax²+bx+c=0 possède de solutions.

Méthode

Pour résoudre une inéquation du second degré :

• 1. On résout l'équation ax²+bx+c=0.
• 2. On trace au brouillon l'allure de la courbe.
• 3. On lit les solutions graphiquement.

Exemple

Inéquation x²+x-1≥0.

• 1. On résout l'équation x²+x-1=0. On obtient deux solutions : et .
  
• 2. a et Δ sont positifs. Allure de la courbe :
  

  

• 3. On prend les valeurs de x pour lesquelles la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

  

>>> Le nombre dérivé >>>

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