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Cours de terminale

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3 - Dénombrement, probabilités


Dans ce cours nous allons apprendre à calculer des probabilités dans le cas où il y a une succession d'expériences aléatoires liées entre elles : le résultat d'une expérience influe sur le résultat des suivantes.
Ce sont les probabilités conditionnelles.

Nous verrons aussi les dénombrements.


Probabilités conditionnelles

Roger Federer et Raphaël Nadal jouent au tennis en finale du tournoi de Wimbledon.
On sait que si Federer remporte le premier set alors il a 8 chances sur 10 de remporter le match et que si Nadal remporte le premier set alors il a 1 chance sur 2 de remporter le match.
On sait ausssi que Nadal n'a que 3 chances sur 10 de gagner le premier set... Quelle est la probabilité que Nadal remporte le match ?

On remarque que Nadal peut gagner le match en ayant gagné le premier set ou en l'ayant perdu et nous pouvons calculer les probabilités de ces deux possibilités.

Appelons S l'évènement "Nadal remporte le premier set", M l'évènement "Nadal remporte le match", et faisons un dessin appelé arbre de probabilités.

arbre probabilites


probabilite conditionnelle est la probabilité de M sachant S, c'est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu'il a remporté le premier set. D'après l'énoncé cette probabilité vaut ½. On la note sur l'arbre. On note aussi sur l'arbre toutes les probabilités que l'on connaît.

probabilite probabilite

L'évènement "Nadal perd le premier set et remporte le match" est l'évènement evenement.
Sa probabilité est égale au produit des probabilités se trouvant sur la branche correspondante.
Il doit déjà perdre le premier set (0,7) puis gagner le match sachant qu'il a perdu le premier set (0,2).

probabilite conditionnelle

L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement formule probabilite. Sa probabilité est égale à probabilite.

Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, on additionne les deux précédents résultats.
C'est la formule des probabilités totales.

formule des probabilites totale

Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match.





Dénombrement

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, trois vertes et deux rouges.

urne probablilites

1. On tire une boule. Quelle est la probabilité qu'elle soit verte? C'est facile, c'est pour se mettre en forme:

probablilites

2. On tire successivement 5 boules en les remettant à chaque fois dans l'urne. Quelle est la probabilité de tirer 5 boules rouges?
La réponse est probablilite. Les probabilités se multiplient.

3. On tire successivement 3 boules sans les remettre dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 vertes et une rouge?
Il faut faire un arbre à 60 branches (5 puis 4 puis 3) pour examiner tous les cas qui amènent au résultat et additionner leurs probabilités. Seules les issues VVR, VRV ou RVV conviennent.

probablilites

4. De combien de façons différentes peut-on tirer simultanément 3 boules de l'urne (par exemple tirer les boules 123, 125, 345, mais pas 132 car on l'a déjà compté)?
La réponse est le nombre probablilites denombrements qui vaut 10. C'est le nombre de sous-ensembles de 3 éléments contenus dans un ensemble de 5 éléments.

5. On tire 3 boules en même temps. Quelle est la probabilité de tirer 2 vertes et une rouge (évènement E)? Il faut diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas total. Le nombre de cas favorables est égal au nombre de possibilités de tirer 2 vertes parmi 3 vertes multiplié par le nombre de possibilités de tirer une rouge parmi 2 rouges. Le nombre de cas total est 10 (question précédente). Donc:

calcul probabilites

>>> Fonctions exponentielle et logarithme >>>


Les probabilités en terminale sur cmath.fr

cours, exercices


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