Cours de terminale

3 - Probabilités

Nous avons déjà vu les probabilités dans les classes précédentes : en troisième, avons vu ce qu'est une expérience aléatoire, une issue, un événement, la probabilité d'un événement, la loi de probabilité d'une expérience aléatoire et nous avons introduit quelques notations spécifiques.

En seconde, nous avons vu comment calculer des probabilités lorsqu'une expérience se reproduit plusieurs fois de suite, en utilisant un arbre de probabilités. Nous avons également vu les unions et intersections d'événements.

Enfin, en première, nous avons vu la notion de variable aléatoire, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire, et le calcul des probabilités dans le cas où une expérience aléatoire à deux issues se reproduit plusieurs fois de suite, en utilisant la loi binomiale et les coefficients binomiaux

Dans ce cours, nous allons apprendre à calculer des probabilités dans le cas où plusieurs expériences se produisent successivement, quand la réalisation de l'une dépend des précédentes. Nous utiliserons pour cela des probabilités conditionnelles. Nous verrons aussi quelques notions de dénombrement pour apprendre à calculer combien y il a de manières de choisir n éléments dans un ensemble qui contient m éléments.

Probabilités conditionnelles

Partons du problème suivant, issu du monde de la petite balle jaune :

Roger Federer et Raphaël Nadal jouent au tennis en finale du tournoi de Wimbledon.

On sait que si Federer remporte le premier set, il a 8 chances sur 10 de remporter le match. Si Nadal remporte le premier set, Nadal a 1 chance sur 2 de remporter le match. On sait enfin que Raphaël Nadal n'a que 3 chances sur 10 de gagner le premier set. Quelle est la probabilité que Nadal remporte le match ?

Appelons S l'événement "Nadal remporte le premier set", M l'événement "Nadal remporte le match", et faisons un dessin appelé arbre de probabilités.

Nadal peut gagner le match en ayant gagné le premier set ou en l'ayant perdu.
Nous pouvons calculer les probabilités de ces deux possibilités.

P_S(M) est la probabilité de M sachant S.
C'est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu'il a remporté le premier set.
D'après l'énoncé, cette probabilité fait ½.
On la note sur l'arbre, ainsi que toutes les autres probabilités que l'on connaît.

L'événement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'événement .
Sa probabilité est le produit des probabilités se trouvant sur la branche correspondante.
Il doit déjà gagner le premier set (0,3) puis gagner le match sachant qu'il a perdu le premier set (0,5).

L'événement "Nadal perd le premier set et remporte le match" est l'événement .
Sa probabilité est égale à 0,14.

Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, il faut additionner les deux probabilités précédentes.
On dit qu'on applique la formule des probabilités totales.

Raphaël Nadal a 29 % de chances de gagner le match.

Dénombrement

Pour terminer ce cours, voyons 5 exemples de calcul de probabilités, de difficulté croissante, en utilisant une urne qui contient 5 boules numérotées de 1 à 5 : trois vertes et deux rouges.

Les 2 premiers exemples sont des révisions de seconde et de première, le troisième utilise la formule des probabilités totales et les deux derniers utilisent le dénombrement.

Exemple 1
On tire une boule, quelle est la probabilité qu'elle soit verte ?

Réponse
C'est facile :

Exemple 2
5 fois de suite, on tire une boule puis on la repose dans l'urne.
Quelle est la probabilité de tirer 5 fois une boule rouge ?

Réponse
La réponse est .
En effet, on pourrait faire un arbre avec 2⁵ branches (2 puis 4 puis 8 puis 16 puis 32).
On doit calculer la probabilité de la branche R-R-R-R-R.
Les probabilités sur les branches se multiplient.


Exemple 3
On tire successivement 3 boules sans les remettre dans l'urne.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 vertes et une rouge?

Réponse
Cette fois, l'arbre possède 60 branches (5×4×3).
Seules les issues V-V-R, V-R-V et R-V-V conviennent.

Exemple 4
On tire simultanément 3 boules.
De combien de manières différentes peut-on faire cela ?

Réponse
Il faut calculer le nombre de sous-ensembles de 3 éléments dans un ensemble de 5 éléments.
Ce résultat s'obtient en utilisant les coefficients binomiaux.
C'est le nombre , qui fait 10.


Exemple 5
On tire simultanément 3 boules.
Quelle est la probabilité de tirer 2 vertes et une rouge (événement E) ?

Réponse
Il faut diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas total.
Le nombre de cas favorables est égal au nombre de possibilités de tirer 2 vertes parmi 3 vertes multiplié par le nombre de possibilités de tirer une rouge parmi 2 rouges.
Le nombre de cas total est 10 (question précédente).

>>> Fonctions exponentielle et logarithme >>>

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Sur le web

• Cours de probabilités de troisième. Issues, événements, probabilité d'un événement, probabilités et fréquences.
• Cours de probabilités de seconde. Calculs de probabilités dans le cas de la répétition d'une même expérience aléatoire, union et intersection d'événements.
• Cours de probabilités de première. Répétition d'expériences aléatoires, les probabilités conditionnelles.
• Cours de première sur les variables aléatoires. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire.