Cours de première

9 - Géométrie analytique

La géométrie analytique, aussi appelée géométrie repérée, est la géométrie avec des coordonnées dans des repères.

Elle permet de calculer les coordonnées (la position) de points dans des plans munis de repères et de faire des démonstrations et des calculs de longueurs dans des figures géométriques.

Dans le cours de seconde, nous avons vu comment calculer les coordonnées du milieu de deux points, comment calculer les coordonnées d'un vecteur, la distance entre deux points et comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'on connaît leurs coordonnées.

Dans ce cours, nous allons voir comment calculer des équations de droites et de cercles dans un repère orthonormé, et comment déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal d'une droite à partir de son équation.

Équation de droite

L'équation cartésienne d'une droite est une égalité qui relie l'ordonnée y à l'abscisse x de n'importe quel point de la droite.
Par exemple, y=2x+3 est une équation de droite.
Le point A(0;3) appartient à cette droite, car si on remplace ses coordonnées dans l'équation de la droite, l'équation est vérifiée.

Nous allons voir comment calculer l'équation d'une droite dans 3 cas différents, en fonction des données que l'on connaît :
 • à partir de deux points.
 • à partir d'un point et d'un vecteur directeur.
 • à partir d'un point et d'un vecteur normal.

1. Avec deux points

Si on connaît les coordonnées de deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) dans un repère orthonormé, on peut calculer l'équation de la droite qui passe par ces deux points.
L'équation est de la forme y=mx+p : m est le coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.
Nous devons trouver m et p.

2. Avec un point et un vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur de même direction que la droite.

Si on connaît les coordonnées d'un point A(x_A;y_A) appartenant à une droite (d) et celles d'un vecteur directeur (v_x;v_y) de (d) alors (d) est l'ensemble des points M(x;y) tels que les vecteurs et sont colinéaires.

3. Avec un point et un vecteur normal

Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à n'importe quel vecteur directeur de la droite.
C'est donc un vecteur dont la direction est perpendiculaire à celle de la droite.

Équation de cercle

Voyons maintenant 3 méthodes pour calculer une équation de cercle en fonction des données que l'on connaît.

1. Avec le centre et un point du cercle

Considérons un cercle de centre A(x_A;y_A), un point B(x_B;y_B) sur le cercle, et B' le symétrique de B par rapport à A.

Comme nous l'avons vu dans le cours précédent, le cercle est l'ensemble des points M tels que et sont orthogonaux.

Comme , B'(2x_A-x_B;2y_A-y_B) (?).

Comme , B'(2x_A-x_B;2y_A-y_B)

En effet, on a x_B-x_A=-(x_B'-x_A).
Donc x_B-x_A=-x_B'+x_A.
Donc x_B'=2x_A-x_B.

Et même chose pour les ordonnées (cacher).

Donc et .

Donc (2x_A-x_B-x)(x_B-x)+(2y_A-y_B-y)(y_B-y)=0.
En développant cette équation, on obtient l'équation du cercle.

2. Avec les deux extrémités d'un diamètre

Prenons maintenant un cercle dont on connaît les coordonnées de deux extrémités A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) d'un diamètre.

Le cercle est également l'ensemble des points M(x;y) tels que et sont orthogonaux.

et .

Comme , on a (x_A-x)(x_B-x)+(y_A-y)(y_B-y)=0.
En développant, on obtient x_Ax_B-xx_A-xx_B+x²+y_Ay_B-yy_A-yy_B+y²=0.
Il reste à additionner les nombres connus et on obtient l'équation cartésienne du cercle.

3. Avec le centre et le rayon

L'équation précédente peut aussi s'écrire : x²-(x_A+x_B)x+x_Ax_B+y²-(y_A+y_B)y+y_Ay_B=0.

Factorisons cette équation avec une identité remarquable.

Appelons Ω le milieu de [AB].

On a :

Conclusion

Exemple
Le cercle de centre S(1;-5) et de rayon 10 a pour équation (x-1)²+(y+5)²=100.

Coordonnées d'un vecteur directeur et d'un vecteur normal à une droite

Parfois, il est utile de connaître les coordonnées d'un vecteur directeur ou d'un vecteur directeur d'une droite à partir de son équation. Comme nous allons le voir ci-dessous, cela se lit très facilement.

Vecteur directeur

Comme nous l'avons vu, un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui possède la même direction que cette droite.
Si on connaît l'équation de la droite sous la forme y=mx+p, où, mieux, sous sa forme cartésienne ax+by+c=0, il est possible de lire les coordonnées d'un tel vecteur à partir de l'équation : un vecteur directeur de la droite est en effet le vecteur .

En effet, considérons le vecteur qui passe par deux points M et N d'une droite (d) d'équation cartésienne ax+by+c=0.
Le vecteur est un vecteur directeur de cette droite vu qu'il est dessus.

Comme M∈(d) et N∈(d), on a ax_M+by_M+c=0 et ax_N+by_N+c=0.

En soustrayant ces deux équations, on obtient a(x_M-x_N)+b(y_M-y_N)=0.
Donc , et en multipliant par -1, .
Donc a pour coordonnées .

Le produit d'un vecteur directeur d'une droite par un nombre réel est un autre vecteur directeur de cette droite.
Multiplions le vecteur par a, puis divisions le par y_N-y_M : on obtient un vecteur qui est un nouveau vecteur directeur à la droite. Ses coordonnées sont .

Conclusion

Vecteur normal

Parfois, il peut être pratique de lire les coordonnées d'un vecteur normal à une droite à partir de son équation cartésienne.
De telles coordonnées sont très faciles à lire : si une droite a pour équation ax+by+c=0, alors est un vecteur normal.

En effet, un vecteur normal à une droite est un vecteur dont la direction est perpendiculaire à celle de la droite.
Il est donc normal à tout vecteur directeur de cette droite, en particulier au vecteur .
On a donc . Comme a×(-b)+b×a=0, est un vecteur normal.

Conclusion

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