Cours de niveau bac+1
9 - Les espaces vectoriels
Espace vectoriel
Un espace vectoriel est un ensemble stable par addition (si x et y sont deux éléments d'un espace vectoriel E, alors
)
et par multiplication par un nombre réel (si
et alors ).
Cela revient à dire que :
Un espace vectoriel est donc un ensemble infini et indénombrable dans lequel on peut additionner des éléments entre eux ou les multiplier par des nombres.
Les éléments d'un espace vectoriel sont appelés vecteurs.
Exemples
Munis de l'addition et la multiplication habituelles:
- n'est pas un espace vectoriel.
- est un espace vectoriel (5 est donc un vecteur de ).
- L'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle
est un espace vectoriel (une fonction de cet ensemble est un vecteur de cet espace vectoriel).
- Les vecteurs vus en seconde sont un cas particulier de vecteurs: ce sont vecteurs de
l'espace vectoriel .
Base d'un espace vectoriel
Pour repérer la position d'un vecteur dans un espace vectoriel, on exprime ce vecteur
en fonction de plusieurs vecteurs référants, qui forment alors ce que l'on appelle une base de l'espace vectoriel.
Un système de vecteurs forme une base d'un espace vectoriel lorsque tout vecteur de l'espace vectoriel peut
s'exprimer d'une manière unique en fonction des vecteurs de la base.
Exemples
- Le système avec
ne forme pas une base de car le vecteur
ne peut pas s'exprimer en fonction de
et .
- Le système avec ,
et
ne forme pas une base de car le vecteur
ne se décompose pas d'une manière unique en fonction de
,
et . En effet, on a
et .
- Le système avec
forme une base de .
Vocabulaire
- La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs qui forment une base de cet espace vectoriel.
- Les coordonnées d'un vecteur dans une base sont les coefficients qui permettent d'exprimer ce vecteur en fonction des vecteurs de la base.
Par exemple, le vecteur a pour coordonnées
dans la base .
- Une famille de vecteurs dans laquelle aucun élément ne peut s'exprimer en fonction des autres s'appelle une famille de vecteurs libres.
- Si sont n vecteurs libres, l'ensemble des combinaisons linéaires formées avec ces
vecteurs, c'est à dire l'ensemble est appelé espace vectoriel
engendré par les vecteurs .
Remarque
Un espace vectoriel peut admettre plusieurs bases différentes, par exemple et
sont deux bases différentes de .
Un vecteur de peut donc avoir des coordonnées différentes suivant la base que l'on considère.
Condition pour former une base
Comment savoir si un système de vecteurs forme une base d'un espace vectoriel?
Comme nous l'avons vu, il faut que chaque vecteur
de l'espace vectoriel se décompose en fonction des vecteurs de la base,
et cela d'une manière unique. La famille de vecteurs doit être à la fois génératrice de E (elle engendre E) et libre.
Cela se traduit par :
Ainsi, pour qu'une famille de vecteurs forme une base d'un espace vectoriel, il faut qu'elle vérifie les 2 conditions ci-dessus.
Exemple
Cherchons si la famille de vecteurs , avec
, , et
forme une base de .
1. La famille est-elle génératrice de ?
Soit un vecteur quelconque de .
Il faudrait pouvoir exprimer ce vecteur en fonction de ,
et .
Pour cela, il faut chercher si il existe 3 réels ,
et tel que
. Cela se traduit par:
2. La famille est-elle libre?
Soient , , et 3 réels tels que . Cherchons si . On a :
En travaillant sur ce système, on obtient :
On peut avoir avec , et donc la famille n'est pas libre. Cette famille de vecteurs ne forme donc pas une base de .