Comprendre les maths!
Inscription
Connexion

9 - Les espaces vectoriels


Espace vectoriel

Un espace vectoriel est un ensemble stable par addition (si x et y sont deux éléments d'un espace vectoriel E, alors ensemble) et par multiplication par un nombre réel (si ensemble et ensemble alors ensemble). Cela revient à dire que :

ensemble

Un espace vectoriel est donc un ensemble infini et indénombrable dans lequel on peut additionner des éléments entre eux ou les multiplier par des nombres. Les éléments d'un espace vectoriel sont appelés vecteurs.

Exemples

Munis de l'addition et la multiplication habituelles:
- ensemble n'est pas un espace vectoriel.
- ensemble est un espace vectoriel (5 est donc un vecteur de nombres reels).
- L'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle intervalle est un espace vectoriel (une fonction de cet ensemble est un vecteur de cet espace vectoriel).
- Les vecteurs vus en seconde sont un cas particulier de vecteurs: ce sont vecteurs de l'espace vectoriel intervalle.

Base d'un espace vectoriel

Pour repérer la position d'un vecteur dans un espace vectoriel, on exprime ce vecteur en fonction de plusieurs vecteurs référants, qui forment alors ce que l'on appelle une base de l'espace vectoriel.

Un système de vecteurs forme une base d'un espace vectoriel lorsque tout vecteur de l'espace vectoriel peut s'exprimer d'une manière unique en fonction des vecteurs de la base.

Exemples

- Le système base avec base ne forme pas une base de ensemble car le vecteur base ne peut pas s'exprimer en fonction de base et base.

- Le système base avec base, base et base ne forme pas une base de ensemble car le vecteur base ne se décompose pas d'une manière unique en fonction de base, base et base. En effet, on a base et base.

- Le système base avec base forme une base de ensemble.


Vocabulaire

- La dimension d'un espace vectoriel est le nombre de vecteurs qui forment une base de cet espace vectoriel.
- Les coordonnées d'un vecteur dans une base, ce sont les coefficients qui permettent d'exprimer ce vecteur en fonction des vecteurs de la base. Par exemple, le vecteur base a pour coordonnées base dans la base base.
- Une famille de vecteurs dans laquelle aucun élément ne peut s'exprimer en fonction des autres s'appelle une famille de vecteurs libres.
- Si base sont n vecteurs libres, l'ensemble des combinaisons linéaires formées avec ces vecteurs, c'est à dire l'ensemble base est appelé espace vectoriel engendré par les vecteurs base.


Remarque

Un espace vectoriel peut admettre plusieurs bases différentes, par exemple base et base sont deux bases différentes de base. Un vecteur de base peut donc avoir des coordonnées différentes suivant la base que l'on considère.

Condition pour former une base

Comment savoir si un système de vecteurs forme une base d'un espace vectoriel?

Comme nous l'avons vu, il faut que chaque vecteur de l'espace vectoriel se décompose en fonction des vecteurs base de la base, et cela d'une manière unique. La famille de vecteurs doit être à la fois génératrice de E (elle engendre E) et libre. Cela se traduit par :

base


Ainsi, pour qu'une famille de vecteurs forme une base d'un espace vectoriel, il faut qu'elle vérifie les 2 conditions ci-dessus.


Exemple

Cherchons si la famille de vecteurs base, avec base, base, et base forme une base de base.

1. La famille est-elle génératrice de base?
Soit base un vecteur quelconque de base. Il faudrait pouvoir exprimer ce vecteur en fonction de base, base et base. Pour cela, cherchons si il existe 3 réels base, base et base tel que base. Cela se traduit par:

base


Après quelques calculs on obtient :

base


Pour tous nombres (x,y,z), on peut avec l'équation base trouver un nombre base, et en remontant dans le système, des nombres base et base, tels que base. La famille de vecteurs base est donc bien génératrice de base.


2. La famille est-elle libre?
Soient base, base, et base 3 réels tels que base. Cherchons si base. On a :

base


En travaillant sur ce système, on obtient :

base


On peut avoir base avec base, base et base donc la famille base n'est pas libre. Cette famille de vecteurs ne forme donc pas une base de base.





>>> Cours sur les systèmes d'équations >>>



Partage avec tes amis

Partage ce cours s'il te plait et aide tes amis à comprendre les maths! Merci!