Cours de niveau bac+1

7 - Les intégrales

Nous avons déjà vu les intégrales en terminale. Pour poursuivre nous allons d'abord étudier les intégrales avec des bornes infinies puis voir deux méthodes de calcul d'intégrales compliquées.

Intégrale généralisée

Considérons l'expression et faisons tendre t vers l'infini. On obtient une intégrale généralisée. On la note . La limite obtenue peut être soit finie soit infinie. Si on obtient un nombre fini on dit que l'intégrale est convergente, sinon qu'elle est divergente. Pour étudier une intégrale du type , on calcule d'abord , puis on fait tendre t vers l'infini. On a alors : . Propriété Si est convergente, alors . La réciproque n'est pas vraie: il existe des fonctions qui tendent vers 0 en plus l'infini sans pour autant que l'intégrale soit convergente. C'est le cas par exemple de l'intégrale qui est divergente alors que .

Remarque

Les intégrales et sont également des intégrales généralisées.

Calculer une intégrale

Voyons maintenant de nouvelles méthodes pour calculer une intégrale. Nous avons vu en terminale:
- La méthode directe en cherchant une primitive.
- La méthode d'intégration par partie.

Nous allons maintenant apprendre:
- La méthode du changement de variables.
- La décomposition en éléments simples.

Ainsi, nous connaîtrons 4 méthodes pour calculer une intégrale. Mais malheureusement parfois aucune de ces 4 méthodes ne marche!

Méthode du changement de variable

Prenons l'exemple de l'intégrale .
Il est impossible de trouver une primitive ou de réaliser une intégration par parties. Cependant, on remarque que si on remplace par x, l'intégrale sera plus simple à calculer. On pose donc .

Puis on modifie en conséquence les bornes de l'intégrale et le "dx".

donc
.

Enfin on calcule la nouvelle intégrale. Ici on pourra calculer I avec une intégration par parties.

Méthode de la décomposition en éléments simples

Cette méthode consiste à effectuer un changement de l'écriture de la fonction f lorsque celle-ci est une fraction rationnelle, c'est à dire un quotient de deux polynômes. On écrira alors cette fraction rationnelle comme une somme de fractions rationnelles plus simples à intégrer.

est une fraction rationnelle.

Lorsque le dénominateur d'une fraction rationnelle est factorisé en un produit de polynômes, il est possible de décomposer la fraction frationnelle en une somme de fractions rationnelles ayant chacune pour dénominateur un facteur du polynôme factorisé et pour numérateur un polynôme d'un dégré inférieur de 1 à celui du dénominateur.

Exemple
La fraction rationnelle pourra se décomposer en , avec A et B des polynômes de degré 0, c'est à dire des constantes.

- On obtient A en multipliant l'équation par puis en remplacant x par -2 :

- On obtient B en multipliant l'équation par puis en remplacant x par -3 :

On en déduit que , ce qui nous permet de calculer :

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