Cours de première - Compléments

A - Les pourcentages

En sixième, nous avons vu ce qu'est un pourcentage, comment calculer un pourcentage et comment utiliser un pourcentage.

Dans ce cours, nous allons voir comment calculer l'augmentation ou la diminution d'une valeur à laquelle on attribue un pourcentage, puis comment calculer le résultat d'une succession d'augmentations ou de diminutions appliquées à une valeur. Enfin, nous verrons une formule qui permet de calculer un pourcentage d'évolution entre deux valeurs données.

Calculer une augmentation ou une diminution

Exemple de problème

Un article coûte 15 euros. Son prix augmente de 20 %. Quel est son nouveau prix ?

Calcul

On calcule d'abord le montant de l'augmentation : 20 % de 15 euros.
En maths, "de" se traduit par un "×" : on calcule donc .
On obtient 3 donc l'augmentation est de 3 euros.
15+3=18 donc le nouveau prix est 18 euros.

Cas général

Si une valeur x est augmentée de p %, alors le montant de l'augmentation est p % de x soit , ce qui peut aussi s'écrire 0,01px.
Le nouveau prix est donc x+0,01px ce qui, en factorisant par x, donne x(1+0,01p).

Formule

Pourcentages successifs

Exemple de problème

Une valeur boursière subit des augmentations successives de +4 %, -1 %, +2 %, 0 %, +1 %, -3 % et +5 %.
1. Si sa valeur initiale est 53 euros, comment peut-on calculer rapidement sa valeur finale ?
2. Comment calculer le pourcentage d'augmentation global entre la première et la dernière valeur ?

Solution

1. D'après la formule ci-dessus, pour calculer une augmentation de 4 %, il faut multiplier la valeur par 1,04.
On doit donc calculer 53×1,04×0,99×1,02×1×1,01×0,97×1,05.
On obtient environ 57,26 euros.

2. Pour passer de 53 au résultat final, on a multiplié par 1,04×0,99×1,02×1×1,01×0,97×1,05, soit environ 1,0803.
Comme , le pourcentage d'augmentation global est 8,03 %.

Formule

.

Calculer un pourcentage d'évolution

En général

Nous avons vu que si une valeur x augmente de p % et si on appelle y la nouvelle valeur, alors .

Supposons que l'on connaisse la valeur de départ, la valeur d'arrivée, et que l'on souhaite calculer le pourcentage d'évolution entre les deux valeurs.
On a :

Formule

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Les pourcentages en première

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