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Cours de troisième

3 - La factorisation

Comme nous l'avons vu en quatrième, la factorisation est une technique de calcul littéral qui consiste à écrire une somme de deux expressions littérales sous la forme d'un produit : la forme factorisée de ab+ac c'est a(b+c).

Factoriser une expression est donc le contraire de développer une expression.

La factorisation permet de résoudre des équations et donc des problèmes compliqués.


Rappel sur la factorisation

Pour factoriser une expression littérale :

Méthode



As-tu compris?

Question 1/2

Écris un facteur commun de l'expression 4u-4v.



Cas où le facteur commun est composé d'au moins deux termes

Principe

Jusqu'à présent dans toutes les factorisations que nous avons vu le facteur commun n'était composé que d'un seul terme. Il existe des expressions pour lesquelles le facteur commun est composé de deux termes.

Par exemple, l'expression littérale (x+2)(x+3)+(x+2)(x+4) est de la forme a×...+a×... et peut donc être factorisée.
Le facteur commun, (x-2), est composé de deux termes.

Pour factoriser par (x-2) on utilise la même méthode que précédemment mais à l'étape 2 on ouvre un crochet.

Exemples

factorisation



As-tu compris?

Question 1/2

Écris un facteur commun de l'expression
(x-7)²-3(x-7).



Factoriser avec les identités remarquables

Parfois on ne trouve pas de facteur commun. Dans ce cas on peut essayer d'utiliser une identité remarquable.

Exemple

On doit factoriser x²-4.
Il n'y a pas de facteur commun mais on sait que a²-b²=(a+b)(a-b).

On a donc x²-4=x²-2²=(x+2)(x-2).

Remarque

Les expressions littérales ne sont pas toujours factorisables, par exemple pour x²+2x+3 on ne peut pas trouver de facteur commun ni utiliser d'identité remarquable.




As-tu compris?

Question 1/3

On souhaite factoriser 9x²+6x+1.
Quelle identité remarquable doit-on utiliser?

La première La deuxième La troisième



Après la factorisation : l'équation produit

Après une factorisation on doit souvent résoudre une équation produit.
Une équation produit est une équation dans laquelle le produit de deux expressions littérales est nul.

Exemple
(2x+4)(3x-9)=0 est une équation produit.

Remarque
Si un produit est nul alors au moins un de ses facteurs est nul.
Si a×b=0 alors a=0 ou b=0 (ou les deux).

Résolution d'une équation produit
Pour résoudre (2x+4)(3x-9)=0 on cherche donc les solutions des équations 2x+4=0 et 3x-9=0.
On obtient deux solutions : x=-2 et x=3.




Exemple : résolution d'une équation compliquée

Résolution de l'équation (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1)=0.




As-tu compris?

Quelles sont les solutions de l'équation
(5-x)(x-5)-(5-x)(2x+5)=0?

x = et x =




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