Cours de troisième

3 - La factorisation

Comme nous l'avons vu en quatrième, la factorisation est une technique de calcul littéral qui consiste à écrire une somme somme de deux expressions littérales expression littérale sous la forme d'un produit produit : la forme factorisée de ab+ac, c'est a(b+c). Factoriser une expression est le contraire de développer une expression.

La factorisation permet de résoudre des équations, et donc des problèmes compliqués.

Rappel sur la factorisation

Pour factoriser une expression littérale :

Méthode

1. On cherche un "facteur commun" aux termes de l'expression. Cela doit être un diviseur de chaque terme. Par exemple, un facteur commun de 3x+15 est 3.
2. On écrit le facteur commun et on ouvre une parenthèse: 3(
3. On écrit les quotients des termes par le facteur commun : 3(x+5).

As-tu compris ?

Cas où le facteur commun est une expression littérale plus longue

Principe

Jusqu'à présent, dans toutes les factorisations que nous avons vu, le facteur commun était un simple nombre ou une lettre. Mais le facteur commun peut aussi être une expression littérale plus complexe!

Par exemple, l'expression (x+2)(x+3)+(x+2)(x+4) est de la forme 🔴×🔶+🔴×🔷 et peut donc être factorisée. Le facteur commun est (x+2).

Pour factoriser, on utilise la même méthode que précédemment, mais à l'étape 2, on ouvre un crochet.

Exemples

factorisation

As-tu compris ?

Factoriser avec les identités remarquables

Parfois, on ne trouve pas de facteur commun. Dans ce cas, on peut essayer de factoriser en utilisant une identité remarquable identités remarquables .

Exemple

On doit factoriser x²-4.
Il n'y a pas de facteur commun, mais on sait que a²-b²=(a+b)(a-b).

On a donc x²-4=x²-2²=(x+2)(x-2).

Remarque

Les expressions littérales ne sont pas toujours factorisables. Par exemple, pour x²+2x+3, on ne peut pas trouver de facteur commun ni utiliser d'identité remarquable.

As-tu compris ?

Après la factorisation : l'équation-produit

Après une factorisation, on doit parfois résoudre une équation-produit.
Une équation-produit est une équation dans laquelle le produit de deux expressions littérales est nul.

Exemple
(2x+4)(3x-9)=0 est une équation-produit.

Remarque sur les produits nuls
Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul.
En effet, si a et b sont deux nombres et que a×b=0, alors a=0 ou b=0 (ou les deux).

Résolution d'une équation-produit
Pour résoudre (2x+4)(3x-9)=0 on doit donc chercher les solutions des équations 2x+4=0 et 3x-9=0.
On obtient deux solutions : x=-2 et x=3.

Exemple de résolution complète d'une équation compliquée

Résolution de l'équation (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1)=0.

1. On commence par factoriser (x+4)(2x-5)-(x+4)(x+1).
2. On doit donc résoudre (x+4)(x-6)=0. C'est une équation-produit.
3. x+4=0 ou x-6=0, donc x=-4 ou x=6. Les solutions de cette équation sont -4 et 6.

As-tu compris ?

>>> Les équations >>>

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