Comprendre les maths!

Cours de première S

2 - Le nombre dérivé

Nous avons vu précédemment différentes notions sur les fonctions (introduction en cinquième, calcul et lecture d'images et d'antécédents en cinquième, quatrième et troisième, représentation graphique en quatrième, les fonctions affines en troisième, l'ensemble de définition, les variations et le tableau de variation en seconde) mais nous ne savons pas encore mesurer la pente des courbes des fonctions, pour dire si une fonction monte de beaucoup ou pas pour un x donné.

Le nombre dérivé a été inventé pour mesurer la pente des courbes : le nombre dérivé d'une fonction pour une abscisse x=a est une mesure de la pente de sa courbe à cette abscisse.

Le nombre dérivé, la dérivation de fonction (chapitre suivant) et l'étude de fonction (chapitre suivant) permettent de connaître, à partir de son expression, les variations d'une fonction ainsi que ses minimums et maximums sans avoir besoin de sa représentation graphique. Cela est très utile pour des problèmes d'optimisation comme nous le verrons avec l'exemple de la construction d'une boîte de volume maximal.

Exemple : lancement d'une fusée


nombre dérivé sur un graphique Le nombre dérivé au point d'abscisse T1 est supérieur au nombre dérivé au point d'abscisse T2 car la courbe monte plus vite.

L'accélération de la fusée à l'instant T1 est donc plus grande que celle à l'instant T2, bien que la vitesse soit inférieure.






Comprends-tu ?

À ton avis, le nombre dérivé au point d'abscisse a est-il inférieur ou supérieur à celui au point d'abscisse b?
lecture nombre dérivé

inférieur supérieur



Voyons maintenant comment se calcule le nombre dérivé.


Calcul du nombre dérivé d'une fonction en un point


1. La tangente

On appelle tangente à une courbe en un point la droite qui touche la courbe en ce point en suivant sa direction.

Comme nous savons mesurer la pente d'une droite (avec le coefficient directeur), on définit le nombre dérivé d'une fonction en un point comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.


Exemple

tangente La droite rouge est la tangente à la courbe bleue au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la droite rouge.


2. Rappels sur le coefficient directeur

Il y a deux manières de connaître le coefficient directeur d'une droite.


Exemple

coefficient directeur tangente




Entraînement

Graphiquement

Quel est le coefficient directeur de la droite ci-dessous ?

droite dans un repère



3. Le nombre dérivé

Comme écrit précédemment, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a).



As-tu compris ?

Combien fait f'(1)?

Lecture graphique nombre dérivé



Maintenant que nous savons lire le nombre dérivé sur un graphique, voyons comment le calculer à partir de l'expression de la fonction !

4. Calcul du nombre dérivé

Considérons un nombre a et une fonction f dont on connaît l'expression, et cherchons une formule permettant de calculer f'(a).

coefficient directeur tangente


Nous devons calculer le coefficient directeur de la droite rouge uniquement à partir de f et de a.

Pour calculer le coefficient directeur, nous ne connaissons qu'une formule : formule coefficient directeur.

Pour utiliser cette formule, nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite.
Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul : coordonnées de A.

Prenons donc un nombre h au hasard et introduisons le point coordonnées de B.

coefficient directeur tangente


Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

calcul coefficient directeur

Nous obtenons un résultat, mais bien sûr, cette droite verte (AB) n'est pas la tangente que nous recherchions !

Cependant, on remarque que plus h est proche de zéro, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est donc proche de f'(a).

Nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a).

On écrit limite, ce qui se lit : "limite quand h tend vers zéro de c de h égal f prime de a".

La notion de limite n'est étudiée qu'en terminale, mais avec un petit effort, tu peux tout de même comprendre !

Nous avons donc la formule :

Formule dérivée en un point


Cette formule est la plus difficile à comprendre de la classe de première, alors si tu as compris, il ne peut plus rien t'arriver !



5. Utilisation de la formule

Méthode
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f en un point a:


Exemple
Calcul de f'(2) pour la fonction fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré.

1. On calcule Taux de variation :

Formule dérivée en un point

2. On remplace h par zéro.
On obtient 4 donc f'(2)=4.

Parabole On peut vérifier notre résultat graphiquement.
La pente de cette courbe au point d'abscisse 2 est bien 4.


Remarque
Il peut arriver que la limite ne soit pas finie, par exemple si en remplaçant h par zéro on obtient une division par zéro. Dans ce cas, cela n'a pas de sens de calculer f'(a) (on n'écrira jamais f'(a)=+∞).

Entraînement

Pour t'entraîner, tu peux essayer de calculer f'(3) avec Fonction inverse.
C'est assez long et technique (environ 5 minutes) mais c'est un bon exercice.

Tu peux voir la correction en cliquant sur le bouton ci-dessous.





Équation de la tangente

Pour une fonction f et une abscisse a donnés, la formule ci-dessous donne l'équation de la tangente à la courbe de f en a.

Formule

La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a a toujours pour équation :

Equation de la tangente

(démonstration)


Utilisation

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a :

Méthode

Exemple

Équation de la tangente à la courbe de fonction qui à tout nombre x associe le nombre x au carré en a=2.

1. f(2)=4 et f'(2)=4.
2. y=4(x-2)+4.
3. y=4x-4.


As-tu compris ?

Écris l'équation de la tangente à la courbe de fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré en a=1.

y=x+





>>> Dérivation de fonction >>>


La dérivée sur cmath.fr

cours, cours en vidéos, exercices


CMATH Premium
Tous les cours, exercices et vidéos, navigation sans publicités, sauvegarde du travail, options d'affichage avancées, navigation ultra-rapide et soutien au site pour 1 euro par an.
https://www.cmath.fr/premium.php


Contenu correspondant