Cours de première

3 - Le nombre dérivé

Les fonctions décrivent le comportement d'une variable par rapport à une autre. Nous connaissons maintenant de nombreuses notions à propos d'elles (calcul et lecture d'images et d'antécédents, représentation graphique, ensemble de définition, étude des fonctions affines et linéaires, variations tableau de variation et tableau de variation).

Cependant, nous ne savons pas encore mesurer la pente de leurs représentations graphiques. Le nombre dérivé permet de remédier à ce problème : le nombre dérivé d'une fonction en une abscisse x=a est une mesure de la pente de sa courbe à cette abscisse.

C'est une notion très utile. Dans les deux chapitres suivants (3 - dérivation de fonction et 4 - étude de fonction), nous allons voir comment l'utilisation du nombre dérivé permet de connaître les variations d'une fonction sans connaître sa représentation graphique, et nous verrons des problèmes concrets pour lesquels le calcul des valeurs minimales et maximales d'une fonction, avec le nombre dérivé, permet de résoudre des problèmes d'optimisation.

Exemple : lancement d'une fusée

Le nombre dérivé au point d'abscisse T₁ est supérieur au nombre dérivé au point d'abscisse T₂ car la courbe monte plus vite.

L'accélération de la fusée à l'instant T₁ est donc plus grande que celle à l'instant T₂, bien que sa vitesse soit inférieure.

Comprends-tu ?

Voyons maintenant comment se calcule le nombre dérivé.
Attention, ça va se compliquer.

Calcul du nombre dérivé d'une fonction en un point

1. La tangente

On appelle tangente à une courbe en un point la droite qui touche la courbe en ce point en suivant sa direction.

Comme nous savons mesurer la pente d'une droite (avec le coefficient directeur), on définit le nombre dérivé d'une fonction en un point comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.

Exemple

La droite rouge est la tangente à la courbe bleue au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la droite rouge.

2. Rappels sur le coefficient directeur

Il y a deux manières de connaître le coefficient directeur d'une droite.

1. Graphiquement
On choisit un point sur la droite. À partir de ce point, on avance d'une unité à droite, puis on compte de combien on doit monter ou descendre pour revenir sur la droite. Le nombre obtenu est le coefficient directeur.
2. Par le calcul
À partir des coordonnées de deux points A et B de la droite, le coefficient directeur se calcule avec la formule .

Exemple

coefficient directeur tangente

Entraînement

3. Le nombre dérivé

Comme écrit précédemment, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a), ce qui se lit : f prime de a.

As-tu compris ?

Maintenant que nous savons lire le nombre dérivé sur un graphique, voyons comment le calculer à partir de l'expression de la fonction.
Attention, ça va encore se compliquer!

4. Calcul du nombre dérivé

Considérons un nombre a et une fonction f dont on connaît l'expression, et cherchons une formule permettant de calculer f'(a).

coefficient directeur tangente

Nous devons calculer le coefficient directeur de la droite rouge uniquement à partir de f et de a.

Pour calculer le coefficient directeur, nous ne connaissons qu'une formule : .

Pour utiliser cette formule, nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite.
Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul ! C'est A(a,f(a)).

Prenons donc un petit nombre h au hasard et introduisons le point B(a+h;f(a+h)).

$Approximation du nombre dérivé par le coefficient directeur d\$

Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB).

Nous obtenons un résultat, mais bien sûr, cette droite (AB) n'est pas la tangente dont nous cherchions le coefficient directeur !

Cependant, on remarque que plus h est proche de zéro, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est proche de f'(a).

À partir de l'expression c(h) nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a).

On pourrait penser que pour calculer f'(a) il suffit donc de calculer c(h) puis remplacer h par zéro. Malheureusement, dans le magnifique mais terrible monde des mathématiques tout n'est pas si simple et on ne peut pas toujours appliquer cette méthode. Cette méthode fonctionnera toutefois et pourra être appliquée dans tous les exercices de première (profitez-en pendant que vous êtes en première).

On écrit , ce qui se lit : "limite quand h tend vers zéro de c de h égal f prime de a".

Nous avons donc la formule :

5. Utilisation de la formule

Méthode
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f en un point a:

1. On calcule le nombre , aussi appelé taux de variation de f entre a et a+h.
2. On fait "tendre" h vers 0. En première, il faut juste remplacer h par zéro dans le résultat de l'étape 1.

Exemple
Calcul de f'(2) pour la fonction .

1. On calcule :

Formule dérivée en un point

2. On remplace h par zéro.
On obtient 4 donc f'(2)=4.

On peut vérifier notre résultat graphiquement.
La pente de cette courbe au point d'abscisse 2 est bien 4.

Remarque
Il peut arriver que la limite ne soit pas finie, par exemple si en remplaçant h par zéro, on obtient une division par zéro. Dans ce cas, cela n'a pas de sens de calculer f'(a) (on n'écrira jamais f'(a)=+∞). On dit alors que f n'est pas dérivable en a.

Entraînement

Pour t'entraîner, tu peux essayer de calculer f'(3) avec .
C'est assez long et technique (environ 5 minutes) mais c'est un très bon exercice!

(voir la correction).

Équation de la tangente

Pour une fonction f et une abscisse a donnés, la formule ci-dessous donne l'équation de la tangente à la courbe de f en a.

Formule

La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a a toujours pour équation :

(démonstration).

Utilisation

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a :

Méthode

1. On calcule f(a) et f'(a).
2. On remplace les résultats obtenus dans la formule.
3. On développe et réduit le résultat.

Exemple

Équation de la tangente à la courbe de en a=2.

1. f(2)=4 et f'(2)=4.
2. y=4(x-2)+4.
3. y=4x-4.

As-tu compris ?

>>> Dérivation de fonction >>>

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