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Cours de première

3 - Le nombre dérivé

Les fonctions décrivent le comportement d'une variable par rapport à une autre. Nous connaissons maintenant de nombreuses notions à propos d'elles (calcul et lecture d'imageimage et d'antécédentsantécédent, représentation graphique, ensemble de définitionensemble de définition, étude des fonctions affines et linéairesfonctions affines et linéaires, variationstableau de variation et tableau de variationtableau de variation).

Cependant, nous ne savons pas encore mesurer la pente de leurs représentations graphiques. Le nombre dérivé permet de remédier à ce problème : le nombre dérivé d'une fonctionfonction en une abscisse x=a est une mesure de la pente de sa courbe à cette abscisse.

C'est une notion très utile. Dans les deux chapitres suivants (3 - dérivation de fonction et 4 - étude de fonction), nous allons voir comment l'utilisation du nombre dérivé permet de connaître les variations d'une fonction sans connaître sa représentation graphique, et nous verrons des problèmes concrets pour lesquels le calcul des valeurs minimales et maximales d'une fonction, avec le nombre dérivé, permet de résoudre des problèmes d'optimisation.

Exemple : lancement d'une fusée


nombre dérivé sur un graphique Le nombre dérivé au point d'abscisse T1 est supérieur au nombre dérivé au point d'abscisse T2 car la courbe monte plus vite.

L'accélération de la fusée à l'instant T1 est donc plus grande que celle à l'instant T2, bien que sa vitesse soit inférieure.






Comprends-tu ?

À ton avis, le nombre dérivé au point d'abscisse a est-il inférieur ou supérieur à celui au point d'abscisse b?
lecture nombre dérivé

inférieur supérieur



Voyons maintenant comment se calcule le nombre dérivé.


Calcul du nombre dérivé d'une fonction en un point


1. La tangente

On appelle tangente à une courbe en un point la droite qui touche la courbe en ce point en suivant sa direction.

Comme nous savons mesurer la pente d'une droite (avec le coefficient directeurcoefficient directeur), on définit le nombre dérivé d'une fonction en un point comme le coefficient directeur de la tangente à la courbe de cette fonction en ce point.


Exemple

tangente La droite rouge est la tangente à la courbe bleue au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est le coefficient directeur de la droite rouge.


2. Rappels sur le coefficient directeur

Il y a deux manières de connaître le coefficient directeur d'une droite.


Exemple

coefficient directeur tangente




Entraînement

Par le calcul

Une droite passe par les points C(1;4) et D(3;8).
Quel est son coefficient directeur?

3. Le nombre dérivé

Comme écrit précédemment, le nombre dérivé d'une fonction f en un nombre a est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Le nombre dérivé de f en a est noté f'(a).



As-tu compris ?

Combien fait f'(1)?

Lecture graphique nombre dérivé



Maintenant que nous savons lire le nombre dérivé sur un graphique, voyons comment le calculer à partir de l'expression de la fonction !

4. Calcul du nombre dérivé

Considérons un nombre a et une fonction f dont on connaît l'expression, et cherchons une formule permettant de calculer f'(a).

coefficient directeur tangente


Nous devons calculer le coefficient directeur de la droite rouge uniquement à partir de f et de a.

Pour calculer le coefficient directeur, nous ne connaissons qu'une formule : formule coefficient directeur.

Pour utiliser cette formule, nous avons besoin des coordonnées de deux points de la droite.
Mais nous n'avons les coordonnées que d'un seul ! C'est coordonnées de A.

Prenons donc un nombre h au hasard et introduisons le point coordonnées de B.

coefficient directeur tangente


Nous pouvons maintenant calculer le coefficient directeur de la droite (AB), sécante à la courbe de f.

calcul coefficient directeur

Nous obtenons un résultat, mais bien sûr, cette droite (AB) n'est pas la tangente dont nous cherchions le coefficient directeur !

On remarque cependant que plus h est proche de zéro, plus la droite verte se rapproche de la droite rouge, et plus le nombre c(h) que nous pouvons calculer est proche de f'(a).

À partir de l'expression c(h) nous allons donc "faire tendre" h vers 0 et alors c(h) va "tendre vers" f'(a).

On écrit limite, ce qui se lit : "limite quand h tend vers zéro de c de h égal f prime de a".

Nous avons donc la formule :


Formule dérivée en un point
limite

5. Utilisation de la formule

Méthode
Pour calculer le nombre dérivé d'une fonction f en un point a:


Exemple
Calcul de f'(2) pour la fonction fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré.

1. On calcule Taux de variation :

Formule dérivée en un point

2. On remplace h par zéro.
On obtient 4 donc f'(2)=4.

Parabole On peut vérifier notre résultat graphiquement.
La pente de cette courbe au point d'abscisse 2 est bien 4.


Remarque
Il peut arriver que la limite ne soit pas finie, par exemple si en remplaçant h par zéro, on obtient une division par zéro. Dans ce cas, cela n'a pas de sens de calculer f'(a) (on n'écrira jamais f'(a)=+∞).

Entraînement

Pour t'entraîner, tu peux essayer de calculer f'(3) avec Fonction inverse.
C'est assez long et technique (environ 5 minutes) mais c'est un très bon exercice!

(voir la correction).

Équation de la tangente

Pour une fonction f et une abscisse a donnés, la formule ci-dessous donne l'équation de la tangente à la courbe de f en a.

Formule

La tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a a toujours pour équation :

Équation de la tangente

(démonstration).

Utilisation

Pour calculer l'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f en un point d'abscisse a :

Méthode

Exemple

Équation de la tangente à la courbe de fonction qui à tout nombre x associe le nombre x au carré en a=2.

1. f(2)=4 et f'(2)=4.
2. y=4(x-2)+4.
3. y=4x-4.


As-tu compris ?

Écris l'équation de la tangente à la courbe de fonction f qui à tout nombre x associe le nombre x au carré en a=-1.

y=x+





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