Comprendre les maths

3 - Les suites


Nous avons déjà vu les suites en première et en terminale.

Suites convergentes et limite

Une suite convergente est une suite dont les termes tendent vers un nombre l appelé la limite de la suite. Par exemple, la suite suite converge vers 2 car suite.


Formellement on dit qu'une suite u converge vers une limite l si pour tout nombre symbole epsilon fixé aussi petit que l'on veut, il existe un rang rang de la suite à partir duquel tous les termes sont à une distance de l inférieure à symbole epsilon. Autrement dit:

convergence suite


suite convergente



Limite infinie

Si une suite n'est pas convergente, on dit qu'elle est divergente. Une suite divergente ne tend pas formcément vers l'infini. Les suites divergentes peuvent avoir une limite infinie (par exemple suite cosinus) ou ne pas avoir de limite (par exemple suite). Une suite suite admet pour limite infini si pour tout nombre A fixé, il existe un rang rang à partir duquel tous les nombres suite sont plus grands que A. On écrit aussi:

suite

On peut trouver une définition similaire pour une suite qui tend vers infini.


Propriétés des suites

- Si une suite converge alors sa limite est unique.
- Toute suite convergente est bornée, c'est à dire qu'elle admet un minimum et un maximum.
- Toute suite extraite (c'est à dire une sous-suite formée à partir des termes de la suite) d'une suite qui converge vers une limite l converge aussi vers l : par exemple pour la suite suite, suite et suite aussi.
- La somme de deux suites convergentes est une suite qui converge vers la somme des 2 limites, et le produit de deux suites convergentes est une suite qui converge vers le produit des deux limites.


Valeur d'adhérence d'une suite

Une valeur d'adhérence d'une suite est un nombre autour duquel, dans un voisinage aussi petit que l'on veut, la suite possède une infinité de termes. Ce n'est pas nécessairement la limite de la suite mais la limite d'une suite est toujours une valeur d'adhérence. Par exemple, la suite suite admet deux valeurs d'adhérences qui sont -1 et 1.


Suite de Cauchy

Une suite de Cauchy est une suite qui vérifie le critère de Cauchy encadré ci-dessous. C'est une suite dont les termes sont de plus en plus proches les uns des autres quand la suite avance. Une suite convergente est toujours de Cauchy. Mais sur un ensemble donné une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente.

En effet si on se place dans l'ensemble nombres rationels et que l'on considère la suite des approximations décimales de pi (suite), cette suite est de Cauchy mais comme pi, c'est une suite non convergente dans son espace de définition.

Un espace dans lequel les suites de Cauchy sont toujours convergentes s'appelle un espace complet. Dans nombres réels, toutes les suites de Cauchy convergent, nombres réels est donc un espace complet. Mais nombres rationnels n'est pas complet.

En écriture mathématique, on dit qu'une suite est de Cauchy si suite de cauchy, c'est à dire que pour nombre symbole epsilon fixé aussi petit que l'on veut, on peut toujours trouver un rang rang à partir duquel la distance entre n'importe quels termes de la suite est inférieure à symbole epsilon.


>>> Les polynômes >>>



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