Cours de niveau bac+1
3 - Les suites
Nous avons déjà vu les suites en première et en terminale.
Suites convergentes et limite
Une suite convergente est une suite dont les termes tendent vers un nombre l appelé la limite de la suite.
Par exemple, la suite 
converge vers 2 car 
.
Formellement on dit qu'une suite u converge vers une limite l si pour tout nombre 
fixé aussi petit que l'on veut, il existe un rang 
de la suite à partir duquel tous les termes sont à une distance de
l inférieure à .
Autrement dit:
Limite infinie
Si une suite n'est pas convergente, on dit qu'elle est divergente. Une suite divergente ne tend pas formcément vers l'infini.
Les suites divergentes peuvent avoir une limite infinie (par exemple 
) ou ne pas avoir de limite
(par exemple 
).
Une suite 
admet pour limite 
si
pour tout nombre A fixé, il existe un rang 
à partir duquel tous les nombres
sont plus grands que A. On écrit aussi:
On peut trouver une définition similaire pour une suite qui tend vers 
.
Propriétés des suites
- Si une suite converge alors sa limite est unique.
- Toute suite convergente est bornée, c'est à dire qu'elle admet un minimum et un maximum.
- Toute suite extraite (c'est à dire une sous-suite formée à partir des termes de la suite) d'une suite qui converge vers une limite l converge aussi vers l : par exemple pour la suite
, 
et 
aussi.
- La somme de deux suites convergentes est une suite qui converge vers la somme des 2 limites,
et le produit de deux suites convergentes est une suite qui converge vers le produit des deux limites.
Valeur d'adhérence d'une suite
Une valeur d'adhérence d'une suite est un nombre autour duquel, dans un voisinage aussi petit que l'on veut, la suite possède une infinité de termes. Ce n'est pas nécessairement
la limite de la suite mais la limite d'une suite est toujours une valeur d'adhérence.
Par exemple, la suite 
admet deux valeurs d'adhérences qui sont -1 et 1.
Suite de Cauchy
Une suite de Cauchy est une suite qui vérifie le critère de Cauchy encadré ci-dessous. C'est une suite dont les termes sont de plus en plus proches
les uns des autres quand la suite avance. Une suite convergente est toujours de Cauchy. Mais sur un ensemble donné une suite de Cauchy n'est pas toujours convergente.
En effet si on se place dans l'ensemble 
et que l'on considère la suite des approximations décimales de 
(
), cette suite est de Cauchy mais comme 
,
c'est une suite non convergente dans son espace de définition.
Un espace dans lequel les suites de Cauchy sont toujours convergentes
s'appelle un espace complet. Dans 
, toutes les suites de Cauchy convergent,
est donc un espace complet. Mais n'est pas complet.
En écriture mathématique, on dit qu'une suite 
est de Cauchy si
, c'est à dire que pour nombre fixé aussi petit que l'on veut, on
peut toujours trouver un rang à partir duquel la distance entre n'importe quels termes
de la suite est inférieure à .