Cours de niveau bac+1
8 - Les équations différentielles
Une équation différentielle est une équation
dont l'inconnue est une fonction
qui est reliée à ses dérivées
.
Ce type d'équation apparait régulièrement dans les sciences de la nature et en sciences physiques.
Équation différentielle du premier ordre
Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme ay'(x)+by(x)=f(x).
y est la fonction inconnue, a et b sont des nombres connus et f est une fonction connue.
L'équation fait donc intervenir une fonction, sa dérivée et des nombres. Mais il n'y a pas de dérivée seconde ou d'ordre supérieur.
Exemple: 
est une équation différentielle du premier ordre.
Nous allons partir de l'exemple de la résolution de l'équation "simple" y'(x)+y(x)=x.
La méthode consiste à résoudre d'abord l'équation avec un second membre nul, puis de la résoudre avec le second membre.
1. Résolution avec second membre nul
C'est une assez longue suite de calculs élémentaires.
On voit que les solutions de l'équation différentielle y'(x)+y(x)=0 sont de la forme y(t)=ke-t, où k est une constante.
Les solutions de l'équation différentielle 
seront de la forme
.
2. Résolution avec le second membre
Reprenons maintenant l'équation de départ y'(x)+y(x)=x et calculons y'+y avec la fonction y(x) trouvée précédemment. Le résultat doit être égal à x.
On a :
Donc en ajoutant y :
Il reste à comparer les seconds membres :
, d'où
,
et à intégrer k' pour obtenir k.
Nous avons besoin d'une intégration par parties.
En changeant la variable en x, on obtient : 
ce qui nous permet d'écrire la solution générale de l'équation différentielle.
Il y a une infinité de solutions à cause du C qui peut varier. Si l'énoncé précise une condition initiale pour y (ce qui est généralement le cas en physique),
par exemple 
, alors on peut facilement calculer C et conclure.
Remarque
Cette méthode peut également être utilisée si l'équation différentielle est à coefficients non constants, c'est à dire du type
.
On commence toujours par résoudre l'équation sans second membre, puis on fait "varier la constante" et on intègre k'(x).
Par exemple, pour résoudre l'équation 
,
il faudrait d'abord remarquer que
et ensuite continuer avec la méthode décrite ci-dessus.