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8 - Les équations différentielles


Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction qui est reliée à ses dérivées.

Ce type d'équation apparait régulièrement dans les sciences de la nature et en sciences physiques.

Equation différentielle du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme ay'(x)+by(x)=f(x).
y est la fonction inconnue, a et b sont des nombres connus et f est une fonction connue.

L'équation fait donc intervenir une fonction, sa dérivée et des nombres. Mais il n'y a pas de dérivée seconde ou d'ordre supérieur.

Exemple: équation différentielle est une équation différentielle du premier ordre.

Nous allons partir de l'exemple de la résolution de l'équation "simple" y'(x)+y(x)=x.
La méthode consiste à résoudre d'abord l'équation avec un second membre nul, puis de la résoudre avec le second membre.


1. Résolution avec second membre nul

C'est une assez longue suite de calculs élémentaires.

résolution équation différentielle


On voit que les solutions de l'équation différentielle y'(x)+y(x)=0 sont de la forme y(t)=ke-t, où k est une constante.
Les solutions de l'équation différentielle équation différentielle seront de la forme équation différentielle.


2. Résolution avec le second membre

Reprenons maintenant l'équation de départ y'(x)+y(x)=x et calculons y'+y avec la fonction y(x) trouvée précédemment. Le résultat doit être égal à x. On a :

dérivation équation différentielle



Donc en ajoutant y :

résolution équation différentielle


Il reste à comparer les seconds membres : résolution équation différentielle, d'où résolution équation différentielle, et à intégrer k' pour obtenir k.
Nous avons besoin d'une intégration par parties.

résolution équation différentielle


En changeant la variable en x, on obtient : résolution équation différentielle ce qui nous permet d'écrire la solution générale de l'équation différentielle.

résolution équation différentielle


Il y a une infinité de solutions à cause du C qui peut varier. Si l'énoncé précise une condition initiale pour y (ce qui est généralement le cas en physique), par exemple résolution équation différentielle, alors on peut facilement calculer C et conclure.

résolution équation différentielle



Remarque

Cette méthode peut également être utilisée si l'équation différentielle est à coefficients non constants, c'est à dire du type résolution équation différentielle. On commence toujours par résoudre l'équation sans second membre, puis on fait "varier la constante" et on intègre k'(x). Par exemple, pour résoudre l'équation résolution équation différentielle, il faudrait d'abord remarquer que

résolution équation différentielle

et ensuite continuer avec la méthode décrite ci-dessus.




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