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Cours de terminale

7 - Suites et récurrence (S)

Vocabulaire

Nous avons vu dans le cours de première sur les suites ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée. Voyons maintenant ce qu'est une suite convergente et ce que sont des suites adjacentes.

Une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que limites de suite. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que limites de suites adjacentes.

Exemples

- la suite définie pour tout n par suite est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par un=cos(n) est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.




Propriétés

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Suite croissante majorée Suites adjacentes
suite suite


Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite suite est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne un+1 en fonction de un. Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l, alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l'égalité l=f(l). Cette équation permet généralement de calculer l.


Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative de ses termes et conjecturer sur la convergence ou non de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le premier terme u0. On a u1=f(u0) donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme u1. Pour reporter ce terme sur l'axe des abscisses, traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis u1 sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi u1 sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer u2 sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.

suite




Raisonnement par récurrence

Rien à voir avec les suites. Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété, qui dépend d'un entier naturel n, est vraie pour tout n. Par exemple si on doit démontrer que 4n-1 est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

1. On pose Pn="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera demonstration recurrence

2. On montre que P0 est vraie. C'est généralement assez simple. Ici P0 est vraie car 40-1=0 et 0 est un multiple de 3.

3. On montre que pour tout nombre n, si Pn est vraie, alors Pn+1 est encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que Pn soit vraie.". On doit montrer que Pn+1 est encore vraie, c'est à dire que 4n+1-1 est un multiple de 3.

recurrence


4n×3 est bien sur un multiple de 3.
4n-1 est un multiple de 3 car Pn est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, donc 4n×3+4n-1 est un multiple de 3, donc 4n+1-1 est un multiple de 3, donc Pn+1 est vraie.

4. On conclut. Vu que P0 est vraie, et que pour tout n, conclusion raisonnement recurrence, on a conclusion raisonnement recurrence, donc P1 est vraie, conclusion raisonnement recurrence donc P2 est vraie, etc... et donc du coup Pn est vraie pour tout n. Pour rédiger on écrit juste : "Par principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n".



>>> Les nombres complexes >>>


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