Cours de terminale

7 - Suites et récurrence

Nous avons introduit les suites en première afin d'étudier les phénomènes répétitifs : nous avons vu ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et nous avons étudié les suites arithmétiques et géométriques.

Puis, dans le premier cours de terminale, nous avons introduit la notion de convergence et nous avons appris à calculer des limites de suites.

Dans ce cours, nous allons voir ce que sont des suites adjacentes, puis nous verrons des propriétés de convergence des suites et étudierons plus précisément le cas des suites définies par une relation de récurrence. Cela nous amènera ensuite à parler du raisonnement par récurrence qui permet de réaliser des démonstrations de propriétés mathématiques.

Vocabulaire

Pour rappel, une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini.
C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que .
Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, telles que : les termes de u et v se rapprochent lorsque n tend vers l'infini.

Exemples

• La suite définie pour tout n>0 par est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée et convergente. Sa limite est 2 lorsque n tend vers +∞.
• La suite définie pour tout n par u_n=cos(n) est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarques

Une suite croissante est toujours minorée par son premier terme.
Une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme.
Une suite monotone peut être convergente ou divergente.

Propriétés

• Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément le majorant ou le minorant).

• Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite.

Suite croissante majorée		Suites adjacentes

Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on connaît un terme et une relation reliant pour tout n terme u_n+1 au terme u_n.

Par exemple, la suite est définie par récurrence.

Calcul de l'éventuelle limite d'une suite définie par récurrence

Appelons f la fonction qui donne u_n+1 en fonction de u_n.
Si f est continue et que u est convergente, en appelant l la limite de u et en calculant la limite quand n tend vers +∞ des deux membres de la relation de récurrence, on obtient l'égalité l=f(l).
Cette équation permet généralement de calculer la valeur de l.

Lecture graphique de l'éventuelle limite d'une suite définie par récurrence

À l'aide d'un dessin, il est possible de déterminer une valeur approximative des termes d'une suite définie par récurrence et de conjecturer sur sa convergence et sa limite.

Pour cela, il faut commencer par tracer un repère orthonormé avec la courbe de f, la droite d'équation y=x et placer sur l'axe des abscisses le premier terme connu u₀.
Comme u₁=f(u₀), on peut avec la courbe de f placer u₁ sur l'axe des ordonnées.

Puis on rapporte u₁ sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y=x : depuis u₁ sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement vers cette droite puis une fois qu'on la touche, on descend vers l'axe des abscisses.

Comme u₂=f(u₁), on peut ensuite avec la courbe de f placer u₂ sur l'axe des ordonnées.
Puis, comme pour u₁, on rapporte ensuite sa valeur sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y=x.

On renouvelle ensuite ces étapes afin d'avoir u₃, u₄, etc. sur l'axe des abscisses.
Au bout d'un moment, on peut deviner si la suite est convergente, et si oui, quelle est sa limite.

Pour terminer ce cours, voyons maintenant le raisonnement par récurrence.

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété qui dépend d'un entier naturel n est vraie pour tout n.

Par exemple, un raisonnement par récurrence permet de démontrer que 4ⁿ-1 est toujours un multiple de 3.

Méthode

Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

• 1. On appelle P_n="la propriété que l'on veut démontrer". On pose donc P_n="4ⁿ-1 est un multiple de 3".
  
  
• 2. On montre que P₀ est vraie. Ici P₀ est vraie, car 4⁰-1=0 et 0 est un multiple de 3.
  
  
• 3. On montre que pour tout entier naturel n, si P_n est vraie, alors P_n+1 est encore vraie.
  Pour rédiger, on écrit : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que P_n soit vraie".
  On doit montrer que P_n+1 est encore vraie, donc que 4ⁿ⁺¹-1 est un multiple de 3.
  C'est l'étape la plus difficile, mais après quelques calculs, on y arrive.
  

  

  
  4ⁿ×3 est bien sûr un multiple de 3.
  4ⁿ-1 est un multiple de 3 car P_n est vraie.
  La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3 donc 4ⁿ×3+4ⁿ-1 est un multiple de 3.
  Donc 4ⁿ⁺¹-1 est un multiple de 3, donc P_n+1 est vraie.
  
  
• 4. On conclut.
  Comme P₀ est vraie et que pour tout entier naturel n, P_n⇒P_n+1, on a P₀⇒P₁, donc P₁ est vraie, puis P₁⇒P₂ donc P₂ est vraie, etc.
  Donc P_n est vraie pour tout n.
  Pour rédiger, on écrit simplement : "Par principe de récurrence, P_n est vraie pour tout n".
  
  

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