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Cours de terminale

7 - Suites et récurrence

Nous avons introduit les suites en première afin d'étudier les phénomènes répétitifs : nous avons vu ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et nous avons étudié les suites arithmétiques et géométriques.

Puis, dans le premier cours de terminale, nous avons introduit la notion de convergence et nous avons appris à calculer des limites de suites.

Dans ce cours, nous allons voir ce que sont des suites adjacentes, puis nous verrons des propriétés de convergence des suites et étudierons plus précisément le cas des suites définies par une relation de récurrence. Cela nous amènera ensuite à parler du raisonnement par récurrence qui permet de réaliser des démonstrations de propriétés mathématiques.

Vocabulaire

Pour rappel, une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini.
C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que limites de suite.
Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, telles que limites de suites adjacentes : les termes de u et v se rapprochent lorsque n tend vers l'infini.

Exemples

• La suite définie pour tout n>0 par suite est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée et convergente. Sa limite est 2 lorsque n tend vers +∞.
• La suite définie pour tout n par un=cos(n) est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarques

Une suite croissante est toujours minorée par son premier terme.
Une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme.
Une suite monotone peut être convergente ou divergente.




Propriétés

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément le majorant ou le minorant).

• Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite.


Suite croissante majorée Suites adjacentes
suite suite


Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on connaît un terme et une relation reliant pour tout n terme un+1 au terme un.

Par exemple, la suite suite est définie par récurrence.

Calcul de l'éventuelle limite d'une suite définie par récurrence

Appelons f la fonction qui donne un+1 en fonction de un.
Si f est continue et que u est convergente, en appelant l la limite de u et en calculant la limite quand n tend vers +∞ des deux membres de la relation de récurrence, on obtient l'égalité l=f(l).
Cette équation permet généralement de calculer la valeur de l.


Lecture graphique de l'éventuelle limite d'une suite définie par récurrence

À l'aide d'un dessin, il est possible de déterminer une valeur approximative des termes d'une suite définie par récurrence et de conjecturer sur sa convergence et sa limite.

Pour cela, il faut commencer par tracer un repère orthonormé avec la courbe de f, la droite d'équation y=x et placer sur l'axe des abscisses le premier terme connu u0.
Comme u1=f(u0), on peut avec la courbe de f placer u1 sur l'axe des ordonnées.

Puis on rapporte u1 sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y=x : depuis u1 sur l'axe des ordonnées, on se déplace horizontalement vers cette droite puis une fois qu'on la touche, on descend vers l'axe des abscisses.

Comme u2=f(u1), on peut ensuite avec la courbe de f placer u2 sur l'axe des ordonnées.
Puis, comme pour u1, on rapporte ensuite sa valeur sur l'axe des abscisses en utilisant la droite d'équation y=x.

On renouvelle ensuite ces étapes afin d'avoir u3, u4, etc. sur l'axe des abscisses.
Au bout d'un moment, on peut deviner si la suite est convergente, et si oui, quelle est sa limite.

suite





Pour terminer ce cours, voyons maintenant le raisonnement par récurrence.

Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété qui dépend d'un entier naturel n est vraie pour tout n.

Par exemple, un raisonnement par récurrence permet de démontrer que 4n-1 est toujours un multiple de 3.

Méthode

Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.



>>> Les nombres complexes >>>


Le raisonnement par récurrence sur cmath.fr

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