Cours de troisième

6 - Les fonctions

Nous avons déjà vu les fonctions en cinquième et en quatrième. Une fonction est une sorte de machine à laquelle on donne des nombres et qui en retourne d'autres. Nous avons vu comment calculer l'image d'un nombre par une fonction, comment représenter graphiquement une fonction et nous avons vu ce que sont les antécédents d'un nombre par une fonction.

Nous allons maintenant apprendre à calculer et lire graphiquement les antécédents et nous allons étudier un type particulier de fonction : les fonctions affines.

Pour réviser

Calcul et lecture des antécédents

Rappel

Un antécédent d'un nombre b par une fonction f est un nombre a tel que f(a)=b.

Petite devinette

Si on ne trouve pas les antécédents, on peut utiliser l'une des deux méthodes ci-dessous (par le calcul ou graphiquement).

Calcul des antécédents

Pour connaître les antécédents d'un nombre b par une fonction f, on résout l'équation f(x)=b.

Exemple

Pour trouver les antécédents de 10 par la fonction f(x)=x²+1, on résout l'équation x²+1=10.
On obtient d'abord x²=10-1, puis x²=9, puis x²-9=0, puis x²-3²=0, puis (x+3)(x-3)=0, puis x+3=0 ou x-3=0.
Donc x=-3 ou x=3.
Les antécédents sont -3 et 3.

Entraînement

Lecture graphique des antécédents

Si on ne connaît pas l'expression de la fonction mais qu'on connaît sa représentation graphique, on peut lire les antécédents d'un nombre b sur le graphique.

Pour cela :

1. On trace une droite horizontale à la hauteur b.
2. On repère les points où cette droite coupe la courbe de la fonction.
3. On lit les abscisses de ces points.

Exemple
Lecture des antécédents de 2 par la fonction représentée par la courbe bleue.

Les antécédents de 2 sont -2,4 et 3.

Voyons maintenant un type particulier de fonction : les fonctions affines.

Les fonctions affines

Vocabulaire

1. Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme \(f:x\mapsto ax+b\).
Par exemple, \(g:x\mapsto 2x+7\) et \(f:x\mapsto -3x+0,5\) sont des fonctions affines.

2. Le nombre a s'appelle le coefficient directeur et le nombre b s'appelle l'ordonnée à l'origine.

3. Une fonction linéaire est une fonction affine dont l'ordonnée à l'origine est nulle.
Par exemple, les fonctions \(u:x\mapsto -75x\) et \(v:x\mapsto 3x\) sont des fonctions linéaires.

Représentation graphique

La représentation graphique des fonctions affines et linéaires est toujours une droite droite .
Pour les fonctions linéaires, cette droite passe par l'origine du repère et les images f(x) sont proportionnelles proportionnalité aux nombres x.

Représentation graphique fonction affine et linéaire

Coefficient directeur et ordonnée à l'origine sur un graphique

À partir de la représentation graphique d'une fonction affine, on peut lire graphiquement son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

Pour lire le coefficient directeur, on se place sur la droite, puis on se déplace horizontalement de 1 à droite puis on regarde de combien on doit monter ou descendre pour revenir sur la droite.

Pour lire l'ordonnée à l'origine, on lit l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe vertical des ordonnées.

Représentation graphique fonction affine

As-tu compris ?

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