Cours de première
1 - Les suites numériques
En maths, une suite est un ensemble de nombres qui se suivent d'une manière logique avec un début, mais sans fin.
Par exemple, 1, 3, 5, 7, 9, etc... est une suite. 5, -10, 20, -40, 80, -160, etc... en est une autre.
Les suites servent principalement à étudier des phénomènes répétitifs : par exemple, si on veut savoir
quel montant sera présent sur un livret d'épargne si on effectue ni retrait ni dépôt et que des intérêts s'accumulent tous les ans pendant 10 ans (il ne suffit pas de calculer 10 fois les intérêts de la première année).
Notations
On nomme généralement u ou v les suites que l'on étudie.
Les valeurs prises par une suite sont appelées les termes de la suite.
Attention, comme la numérotation des indices commence à zéro, u2 est le troisième terme.
Écriture d'une suite
Écrire les premiers termes ne suffit pas pour définir une suite.
Les suites peuvent être définies :
• Par une formule qui donne un en fonction de n.
• Par leur premier terme et une formule appelée formule de récurrence qui donne le terme un+1 en fonction de un.
• Par un algorithme
informatique.
• Par des instructions de constructions géométriques.
Exemple
Pour représenter la suite des nombres impairs, nous pouvons écrire :
• un=2n+1
• 
• Un algorithme qui initialise une variable à 1 puis contient une boucle qui augmente la variable de 2 à chaque passage.
• "Construire un carré de côté 1, noter u0 son aire, puis ajouter de chaque côté des carrés de côté 1 et noter un l'aire de la figure obtenue après n ajouts".
As-tu compris ?
Suites arithmétiques
Les suites arithmétiques sont les suites pour lequelles on ajoute toujours un même nombre aux termes, par exemple si on possède 15 euros dans une tirelire et que toutes les semaines, on ajoute 2 euros. Elles permettent donc d'étudier les phénomènes contenant des évolutions successives à accroissements constants.Définition
Si une suite avance toujours d'un même nombre (par exemple 5, 10, 15, 20,...), on dit que c'est une suite arithmétique.
Le nombre r tel que un+1=un+r
est appelé la raison de la suite.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on peut prouver que un+1-un est constant.
Calcul des termes
Pour une suite arithmétique, comme u1=u0+r on a:
u2=u1+r=u0+2r,
u3=u2+r=u0+3r,
u4=u3+r=u0+4r, et d'une manière générale :
Cette formule permet de calculer n'importe quel terme quand on connaît le premier terme et la raison.
On peut aussi calculer n'importe quel terme si on connaît un terme quelconque et la raison.
Par exemple, u20=u10+10×r.
On peut aussi retrouver la raison à partir de deux termes éloignés.
Si u3=10 et u7=34, la raison est 6 car on a avancé de 24 (34-10) en 4 termes (7-3).
Remarque
Les valeurs prises par une suite arithmétique sont assimilables à celles prises par une fonction affine
dont l'ordonnée à l'origine serait le premier terme et le coefficient directeur la raison.
Maintenant, réfléchis un peu
Somme des termes d'une suite arithmétique
Nous allons maintenant voir une formule qui permet de calculer la somme
des premiers termes d'une suite arithmétique.
Pour cela, commençons par calculer la somme des 47 premiers termes de la suite des nombres impairs.
Comme le dernier terme u46 vaut 93 (rappel :
un=u0+nr), on peut écrire :
En additionnant ces deux égalités, on obtient 47 fois le même nombre 94.
La somme des 47 premiers termes de cette suite fait 2209.
On voit que pour une suite arithmétique, on a toujours :
Entraînement
Suites géométriques
Les suites géométriques sont les suites pour lesquelles on passe d'un terme au terme suivant en multipliant toujours par un même nombre. Par exemple, si on possède 150 euros sur un livret d'épargne et que tous les ans, en raison de la perception des intérêts à 2%, ce montant est multiplié par 1,02. Les suites géométriques permettent donc d'étudier les phénomènes contenant des évolutions successives à taux constants.
Définition
Une suite géométrique est une suite pour laquelle on multiplie toujours par un même nombre (également appelé raison de la suite, et généralement noté q)
pour passer d'un terme au suivant.
Par exemple, la suite un=(-2)n, dont les premiers termes sont -2, 4, -8, 16, -32,... est une suite géométrique de raison -2.
Calcul des termes
Comme u1=u0×q, on a :
u2=u1×q=u0×q×q=u0×q²
u3=u2×q=u0×q²×q=u0×q3
u4=u3×q=u0×q3×q=u0×q4
Et d'une manière générale :
Somme des termes
La formule suivante permet de calculer la somme des premiers termes d'une suite géométrique :
Démonstration
La somme des n+1 premiers termes est S=u0+u0q+u0q²+...u0qn=u0(1+q+q2+...+qn).
Donc q×S=u0(q+q2+q3+...+qn+1)
Donc q×S-S=u0[(q+q2+q3+...+qn+1)-(1+q+q2+q3+...+qn)]=u0(qn+1-1).
D'où S(q-1)=u0(qn+1-1) et la formule ci-dessus.
Exemple
Pour la suite géométrique de premier terme 5 et de raison -2, dont les 4 premiers termes sont 5, -10, 20 et -40, la somme des 4 premiers termes fait :
On peut le vérifier : 5-10+20-40=-25.
Entraînement
Sens de variation d'une suite
Vocabulaire
Une suite croissante est une suite pour laquelle un+1 est toujours plus grand que un.
Une suite décroissante est une suite pour laquelle un+1 est toujours plus petit que un.
Une suite monotone est une suite qui est soit croissante soit décroissante.
Toutes les suites ne sont pas monotones, par exemple la suite un=(-1)n n'est pas monotone.
Une suite majorée est une suite pour laquelle il existe un nombre M supérieur ou égal à tous les termes de la suite. M est alors appelé un majorant de la suite.
Une suite minorée est une suite pour laquelle il existe un nombre M inférieur ou égal à tous les termes de la suite. M est alors appelé un minorant de la suite.
Comment déterminer le sens de variation d'une suite ?
Suite définie par son terme général
Pour déterminer le sens de variation d'une suite définie par son terme général un en fonction de n, on peut :
1. Calculer un+1-un et montrer que le résultat est toujours positif (la suite est alors croissante) ou toujours négatif (suite décroissante).
2. Calculer 
et montrer que le résultat est toujours strictement plus grand que 1 (la suite est alors croissante) ou strictement compris entre 0 et 1 (suite décroissante).
3. Étudier les variations de la fonction associée (chapitre 5, étude de fonction). La suite et la fonction ont les mêmes variations.
Suite définie par une relation de récurrence
Pour déterminer le sens de variation d'une suite définie par une relation de récurrence, on peut représenter graphiquement ses premiers termes.
Méthode
- 1. On trace la représentation graphique de la fonction f associée et la droite d'équation y=x.
- 2. On place u0 sur l'axe des abscisses.
- 3. En utilisant la courbe de la fonction, on place u1 sur l'axe des ordonnées.
- 4. En utilisant la droite d'équation y=x, on reporte u1 sur l'axe des abscisses.
- 5. En utilisant u1 sur l'axe des abscisses et la courbe de f, on place u2 sur l'axe des ordonnées.
- 6. En utilisant la droite d'équation y=x, on reporte u2 sur l'axe des abscisses.
- 7. On recommence ces opérations.
La lecture des termes sur l'axe des abscisses permet de visualiser le sens de variation, mais aussi de conjecturer (deviner) sur la présence
d'une éventuelle limite de la suite, c'est-à-dire d'un nombre vers lequel les termes de la suite se rapprocheraient de plus en plus.
Cette méthode de visualisation graphique ne permet cependant pas de démontrer formellement la croissance ou la décroissance de la suite, ni de démontrer
formellement la présence d'une limite.
Remarques sur le cas particulier des suites arithmétiques et géométriques
Une suite arithmétique est croissante si sa raison et positive et décroissante si sa raison est négative.
C'est plus compliqué pour les suites géométriques. Pour une suite géométrique de premier terme positif :
- Si q<0, la suite n'est ni croissante ni décroissante, car le signe des termes change à chaque fois.
- Si q=0, les termes valent tous 0 à partir du deuxième. Elle est donc constante à partir du deuxième terme.
- Si 0<q<1, la suite est décroissante. En effet, si on multiplie un nombre positif par un nombre strictement compris entre 0 et 1, le résultat est plus petit que le nombre de départ.
- Si q=1, les termes sont tous égaux au premier terme. La suite est constante.
- Si q>1, la suite est croissante.
Exemples de détermination de sens de variation de suites
1. La suite u définie par u0=1 et un+1=un-6.
u est une suite arithmétique de raison négative donc u est décroissante.
2. La suite u définie par un=3×0,9n.
u est une suite géométrique de premier terme positif et de raison strictement comprise entre 0 et 1 donc u est décroissante.
3. La suite u définie par un=n²-1.
Calculons un+1-un
un+1-un=((n+1)²-1)-(n²-1)=n²+2n+1-1-n²+1=2n+1.
Comme n>0, 2n+1>0, donc un+1-un>0 donc u est croissante.
4. La suite u définie par 
.
Calculons un+1÷un
.
Comme 0,5<1 et n÷(n+1)<1, un+1÷un<1 donc u est décroissante.
5. La suite u définie par un=n²+2n-3.
Posons f(x)=x²+2x+3.
La fonction dérivée
de f, f', fait f'(x)=2x+2.
Lorsque x>0, f'(x)>0 donc f est croissante donc u est croissante.
Limites de suites
Lorsqu'on regarde les termes d'une suite, et que l'on s'intéresse à leur comportement lorsque n devient très grand, différents cas peuvent se produire :
• Soit les termes se rapprochent toujours plus d'un même nombre, jusqu'à sembler l'atteindre. On dit dans ce cas que la suite est convergente et ce nombre est appellé la limite de la suite. Par exemple, 10 est la limite de la suite un=10-1÷(n+1).
• Soit les termes deviennent de plus en plus grands, jusqu'à dépasser n'importe quel nombre choisi au départ. On dit dans ce cas que la suite est divergente et sa limite est alors +∞. Exemple : un=n.
• Soit les termes deviennent de plus en plus petits, jusqu'à devenir plus petits que n'importe quel nombre choisi au départ. Dans ce cas, la suite est également divergente et sa limite est -∞. Exemple : un=-n.
• Soit les termes ne respectent aucune des conditions ci-dessus. Dans ce cas, la suite est également divergente, mais elle n'admet pas de limite. Exemple : un=(-1)n.
Dans le cours de terminale sur les limites de suites, nous donnerons des définitions plus formelles de ces notions et nous apprendrons à calculer des limites.
>>> Les équations et inéquations du deuxième degré >>>
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