Cours de seconde

11 - Probabilités

Les probabilités sont l'étude des phénomènes (appelés expériences aléatoires) pour lesquels la réalisation de différentes possibilités (appelées issues ou événements élémentaires) relève du hasard.

Les probabilités associent un nombre à chaque issue afin de pouvoir comparer leurs chances de se produire et de réaliser des calculs pour prendre des bonnes décisions avant la réalisation du phénomène.

Cela permet d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain ou de perte dans des jeux d'argent ou encore de calculer des probabilités de pluie à 10 minutes pour décider d'interrompre ou non un match à Roland-Garros.

Nous avons déjà vu quelques notions sur les probabilités en troisième.

Dans ce cours, nous allons apprendre à calculer la probabilité d'une issue dans des cas simples et dans le cas où une même expérience est répétée plusieurs fois. Puis nous apprendrons à calculer la probabilité d'un événement, nous verrons les unions et intersections d'événements et nous apprendrons à calculer la probabilité d'une union de deux événements.

Probabilité d'un événement

Probabilité d'une issue

Lorsqu'une expérience aléatoire se produit, il y a différentes issues possibles. La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui indique si l'issue a beaucoup de chances de se produire (proche de 1 : très probable, proche de zéro : très improbable). La somme des probabilités de toutes les issues fait toujours 1. Par conséquent, si une expérience aléatoire possède n issues qui ont toutes les mêmes chances de se produire (on dit qu'elles sont équiprobables) alors la probabilité de chaque issue est .

Calcul de la probabilité d'une issue

Il y a deux cas :

1. Si l'expérience aléatoire se produit une seule fois

Dans ce cas, la probabilité d'une issue se calcule en divisant 1 par le nombre d'issues (situation d'équiprobabilité) ou en regardant les données du problème.
C'est ce que nous avons vu dans les questions "as-tu compris ?" ci-dessus.

2. Si l'expérience aléatoire se produit plusieurs fois

Dans ce cas, les issues sont des combinaisons formées chacune par la succession des issues de chaque réalisation, appelée épreuve.
Par exemple, I₁-I₁-I₃ est une combinaison et I₁-I₂-I₁ en est une autre.

Pour calculer des probabilités dans ce cas, il est recommandé, dans la mesure du possible (pas trop d'épreuves), de faire un dessin appelé "arbre de probabilité".
Si l'expérience possède deux issues et se produit deux fois de suite, l'arbre sera comme ceci :

Le nombre d'issues totales est le nombre de branches, ici 4.

Probabilité d'un événement

Souvent, on ne s'intéresse pas aux chances de réalisation d'une seule issue, mais à celles d'un ensemble de plusieurs issues.
Un ensemble de plusieurs issues s'appelle un événement.

Exemple

On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse aux chances d'obtenir un nombre strictement plus petit que 3.
Cette possibilité contient 2 issues : "obtenir 1" et "obtenir 2".

Pour écrire des événements sans avoir à écrire des longues phrases qui commencent par "obtenir...", on utilise le langage et les notations sur les ensembles.

Exemple

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le compose.

As-tu compris ?

Union et intersection d'événements

Intersection

L'intersection de deux événements A et B, notée A∩B, est l'événement qui contient les issues communes aux issues de A et de B.

Union

L'union de deux événements A et B, notée A∪B, est l'événement qui contient toutes les issues de A et toutes celles de B.

Exemple

Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement A : "obtenir un nombre pair".
Événement B : "obtenir un nombre strictement supérieur à 3".
Événement A∩B : "obtenir un nombre pair et strictement supérieur à 3".
Événement A∪B : "obtenir un nombre pair ou strictement supérieur à 3".
A={2;4;6}.
B={4;5;6}.
A∩B={4;6}.
A∪B={2;4;5;6}.

Probabilité d'une union

La formule ci-dessous permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements lorsqu'on connaît la probabilité de chacun d'entre eux et la probabilité de leur intersection.

On doit enlever P(A∩B) à P(A)+P(B) car en calculant P(A)+P(B) on compte deux fois les issues qui sont à la fois dans A et dans B.

>>> Cours de première sur les suites numériques >>>

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Sur le web

• Cours de probabilités de troisième. Issues, événements, probabilité d'un événement, probabilités et fréquences.
• Cours de probabilités de première. Répétition d'expériences aléatoires, les probabilités conditionnelles.
• Cours de première sur les variables aléatoires. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire.
• Cours de probabilités de terminale. Probabilités conditionnelles, dénombrement.

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