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Cours de première

5 - Étude de fonction

Dans ce cours, nous allons apprendre à étudier les variations d'une fonction.
Cela nous permettra de dire si une fonction est croissante ou décroissante sans connaître sa représentation graphique.
Nous pourrons alors dessiner son tableau de variationtableau de variation et connaître ses minimums et maximums.

Nous étudierons ensuite la fonction racine carréefonction racine carrée, la fonction valeur absoluefonction valeur absolue et la fonction cubefonction cube.


Étude des variations d'une fonction

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction :



Exemple

patron boite

Dans le chapitre précédent, nous avions besoin de connaître les variations de la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) afin de trouver la valeur de x permettant de construire une boite de volume maximal à partir d'un support rectangulaire de dimensions 20*10 cm.

La fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) s'écrit aussi f(x)=4x³-60x²+200x (calcul).

Étude des variations
1. f'(x)=12x²-120x+200.

2. On doit résoudre l'inéquation 12x²-120x+200>0 (ou si on préfère, l'inéquation 12x²-120x+200<0).
C'est une inéquation du deuxième degré.

Sa résolution (voir) donne le résultat suivant :
12x²-120x+20 est positif (+) sur Intervalle et négatif (-) sur Intervalle.

3. 4. 5. et 6.

Tableau de variations



Solution du problème
On voit que sur l'intervalle ]0;5[ correspondant aux valeurs de x possibles pour construire la boîte, f est croissante de 0 à Valeur, puis décroissante de Valeur à 5.
Elle admet donc un maximum pour x=Valeur.
C'est cette valeur (environ 2,11) qu'il faudra utiliser pour dessiner le patron.
On obtiendra un volume de Volume, soit 192,45 cm³.



As-tu compris ?

Donne un arrondi à 0,00001 près de la valeur de x pour laquelle la fonction Exercice dérivée est maximale sur l'intervalle [-10;0].

Fonctions usuelles

En seconde, nous avons étudié deux fonctions usuelles : la fonction carréfonction carré et la fonction inversefonction inverse.
Voyons maintenant d'autres fonctions utiles.

La fonction racine carrée

La fonction Fonction racine carrée est définie sur [0;+∞[, car il n'est pas possible de calculer la racine carréeracine carrée d'un nombre strictement négatif.
Elle est toujours croissante, car sa dérivée Dérivée racine carrée est toujours positive.

Graphique fonction racine carrée


La fonction valeur absolue

La fonction Fonction valeur absolue , appelée fonction valeur absolue, est la fonction qui change les nombres négatifs en nombres positifs, mais ne change pas les nombres positifs.
Par exemple, |-10|=10 et |8|=8.
On a |x|=x si x>0 et |x|=-x si x<0 (l'opposé d'un nombre négatif est un nombre positif).

La fonction |x| est décroissante sur ]-∞;0], car sur cet intervalle, elle est égale à -x et sa dérivée est donc -1.
Elle est croissante sur [0;+∞[, car sur cet intervalle, elle est égale à x et sa dérivée est donc 1.

Elle est définie sur R.

Graphique fonction valeur absolue



La fonction cube

La fonction Fonction valeur absolue est définie sur R, car on peut toujours calculer le cube d'un nombre.

Comme sa dérivée est 3x² et que 3x² est toujours positif ou nul, la fonction cube est toujours croissante.

Graphique fonction cube




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