Cours de première
5 - Étude de fonction
Dans ce cours, nous allons apprendre à étudier les variations d'une fonction.
Cela nous permettra de dire si une fonction est croissante ou décroissante sans connaître sa représentation graphique.
Nous pourrons alors dessiner son tableau de variation
et connaître ses minimums et maximums.
Nous étudierons ensuite la fonction racine carrée
, la fonction valeur absolue
et la fonction cube
.
Étude des variations d'une fonction
Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction :
- 1. On calcule sa dérivée.
- 2. On étudie le signe de la dérivée (en résolvant une inéquation
). - 3. On dessine un tableau comme ci-dessous :
- 4. On écrit sur la première ligne les valeurs de x pour lesquelles f'(x) change de signe.
- 5. On remplit la deuxième ligne avec des + ou des -.
- 6. On remplit la troisième ligne avec des flèches qui montent lorsque f'(x)>0 pour les valeurs de x situées sur la première ligne, ou qui descendent lorsque f'(x)<0.
Exemple
Dans le chapitre précédent, nous avions besoin de connaître les variations de la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) afin de trouver la valeur de x permettant de construire une boite de volume maximal à partir d'un support rectangulaire de dimensions 20*10 cm.
La fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) s'écrit aussi f(x)=4x³-60x²+200x (calcul).
1. f'(x)=12x²-120x+200.
2. On doit résoudre l'inéquation 12x²-120x+200>0 (ou si on préfère, l'inéquation 12x²-120x+200<0).
C'est une inéquation du deuxième degré.
Sa résolution (voir) donne le résultat suivant :
12x²-120x+20 est positif (+) sur
et négatif (-) sur
.
.
donc l'équation 12x²-120x+200=0 possède deux solutions.
à x1, négatif de x1 à x2, et de nouveau positif de x2
à 
.
Solution du problème
On voit que sur l'intervalle ]0;5[ correspondant aux valeurs de x possibles pour construire la boîte, f est croissante de 0 à
, puis décroissante de
à 5.
Elle admet donc un maximum pour x=.
C'est cette valeur (environ 2,11) qu'il faudra utiliser pour dessiner le patron.
On obtiendra un volume de 
, soit 192,45 cm³.
As-tu compris ?
Fonctions usuelles
En seconde, nous avons étudié deux fonctions usuelles : la
fonction carré
et la fonction inverse
.
Voyons maintenant d'autres fonctions utiles.
La fonction racine carrée
La fonction 
est définie sur [0;+∞[, car il n'est pas possible de calculer la racine carrée
d'un nombre strictement négatif.
Elle est toujours croissante, car sa dérivée 
est toujours positive.
La fonction valeur absolue
La fonction 
,
appelée fonction valeur absolue, est la fonction qui change les nombres négatifs en nombres positifs, mais ne change pas les nombres positifs.
Par exemple, |-10|=10 et |8|=8.
On a |x|=x si x>0 et |x|=-x si x<0 (l'opposé d'un nombre négatif est un nombre positif).
La fonction |x| est décroissante sur ]-∞;0], car sur cet intervalle, elle est égale à -x et sa dérivée est donc -1.
Elle est croissante sur [0;+∞[, car sur cet intervalle, elle est égale à x et sa dérivée est donc 1.
Elle est définie sur R.
La fonction cube
La fonction 
est définie sur R, car on peut toujours calculer le cube d'un nombre.
Comme sa dérivée est 3x² et que 3x² est toujours positif ou nul, la fonction cube est toujours croissante.
>>> Les fonctions exponentielle, sinus et cosinus >>>
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