Cours de quatrième
7 - Le théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore est une propriété qui permet de calculer
la longueur du troisième côté d'un triangle rectangle
lorsqu'on connaît les longueurs des deux autres côtés.
Pythagore était un mathématicien de la Grèce antique (en savoir plus).
Théorème de Pythagore
Vocabulaire
| Le plus grand côté d'un triangle rectangle s'appelle l'hypoténuse. |  |
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme
des carrés des longueurs des deux autres côtés. |
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Exemple
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Dans le triangle ABC rectangle en A, BC²=AB²+AC². On peut aussi écrire cette égalité dans l'autre sens : AB²+AC²=BC². Ou avec des multiplications : BC×BC=AB×AB+AC×AC. |
As-tu compris ?
Utiliser le théorème de Pythagore
Pour utiliser le théorème de Pythagore, on doit connaître les longueurs de deux côtés d'un triangle rectangle.
Méthode
- 1. On écrit l'égalité. Par exemple AB²+AC²=BC².
- 2. On remplace les côtés connus par leur longueur. Par exemple, 4²+AC²=7².
- 3. On calcule les carrés de ces nombres. Avec cet exemple, on obtient 16+AC²=49.
- 4. En utilisant les règles sur les équations
on isole la longueur inconnue d'un côté du =. Avec notre exemple, il faut passer le 16 à droite. On obtient AC²=49-16. - 5. On calcule l'autre côté. On obtient AC²=33.
- 6. On calcule la racine carrée
(touche √ de la calculatrice) du résultat obtenu. AC mesure environ 5,74 cm.
Remarque
Le théorème de Pythagore est particulièrement utile pour calculer des longueurs qu'on ne peut pas mesurer, comme des grandes
distances sur la Terre ou dans l'espace (astronomie).
As-tu compris ?
Réciproque du théorème de Pythagore
La réciproque du théorème de Pythagore est une propriété qui permet de dire si un triangle est rectangle ou non lorsqu'on connaît les longueurs de ses 3 côtés.
Énoncé
Si le carré de la longueur du plus grand côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.
Méthode et exemple
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Question : le triangle ABC ci-contre est-il rectangle ? Méthode 1. On calcule séparément AC² et AB²+BC² et on compare les résultats obtenus. 2. On conclut. Exemple 1. AC²=15²=225 AB²+BC²=12²+9²=144+81=225. On a bien AB²+BC²=AC². 2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. |
As-tu compris ?
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Sur le web
• Sur Automaths. Pour apprendre à bien rédiger (paragraphe III).
• Sur Mathkangs.org. Démonstration géométrique du théorème (animation).
• Sur Wikipédia. L'article encyclopédique avec histoire et démonstrations.
• Sur Youtube. Le théorème de Pythagore en musique Rap.
• Sur Jeux maths : Jeu d'aventures de 10 minutes avec des questions sur le théorème.
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