Cours de troisième

9 - Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès est une propriété qui permet de calculer des longueurs dans certaines figures géométriques.

Quand l'utiliser ?

L'utilisation du théorème de Thalès nécessite la présence de deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.

Le théorème de Thalès sera utilisé dans des figures comme celles ci-dessous.

Il y a deux droites parallèles coupées par deux droites sécantes.

Pour utiliser le théorème de Thalès, on doit connaître au moins trois longueurs dans ce type de figure.

Si A, O, B, C, D sont cinq points tels que:

- (AD) et (BC) sont parallèles.
- (AC) et (DB) se coupent en O.

Alors

Remarque
Les longueurs OB, OC et BC sont proportionnelles proportionnalité aux longueurs OD, OA et AD.

1. On énonce le théorème et on écrit les rapports égaux.
2. On remplace les longueurs connues par leurs valeurs numériques et on raye le rapport inutile.
3. On réalise un produit en croix.

Pour écrire les rapports égaux :

1. On repère le point d'intersection des deux droites non-parallèles.
2. On choisit l'une des deux droites qui passe par ce point.
3. En restant sur cette droite et en partant toujours de ce point on écrit le rapport de la plus petite longueur par la plus grande.
4. On fait de même sur l'autre droite qui passe par ce point.
5. On écrit le rapport de la plus petite longueur par la plus grande sur les deux droites parallèles.

Remarque
On peut aussi écrire les rapports des grandes longueurs par les petites, mais dans ce cas, il faut bien le faire pour les trois rapports.

théorème de thales

As-tu compris ?

Écris les rapports égaux dans la figure ci-dessous.

On sait que (FA) et (CN) sont parallèles. Calculer CN.

As-tu compris ?

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer (prouver) que des droites sont parallèles (ou qu'elles ne le sont pas).

réciproque théorème de Thalès

Pour démontrer que les droites ci-dessus (XY) et (WZ) sont parallèles, on calcule séparément les rapports et et on montre qu'ils sont égaux.

donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (XY) et (WZ) sont parallèles.

Bravo pour avoir lu ce cours jusqu'au bout.
Maintenant, essaie de faire les exercices!

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D'autres sites utiles

• Sur Wikipedia. L'article sur Thalès de Millet, mathématicien et philosophe de la Grèce Antique.

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