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Cours de niveau bac+1

6 - Les développements limités


Développement limité d'une fonction

Le développement limité d'une fonction en un point d'abscisse x=a est la somme d'un polynôme et d'un reste. Un développement limité permet d'approximer une fonction par un polynôme au voisinage d'un point.

On exprime ce polynôme en fonction de la variable x-a.


Définition

On dit qu'une fonction f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de a si f peut s'écrire sous la forme développement limite, avec epsilon

Pour écrire le développement limité d'une fonction en un point, on utilise la formule de Taylor.

Exemples


1. Développement limité d'ordre 3 de la fonction sinus en 0.

D'après la formule de Taylor:

utilisation formule taylor


avec c compris entre 0 et x. En simplifiant cette équation, on obtient :

utilisation formule taylor


avec utilisation formule taylor. Comme limite, nous avons bien trouvé un développement limité.

2. Développement limité d'ordre 8 de la fonction cosinus en 0.


On obiendrait de la même manière:

utilisation formule taylor


Ces deux développements limités nous donnent de bonnes approximations des fonctions sinus et cosinus par des polynômes au voisinage de 0.

Calcul de limites de fonctions

Définition

Si deux fonctions f et g sont telles que fonctions équivalentes, on dit que f et g sont équivalentes au voisinage de a et on note fonctions équivalentes.

Exemple

Les fonctions fonction cosinus et fonction sont équivalentes au voisinage de 0.

En effet fonction.


Application au calcul de limites

Lorsque deux fonctions sont équivalentes au voisinage d'un point alors elles ont la même limite en ce point. Les développements limités nous permettent donc de lever des formes indéterminées lors de calculs de limites.

Exemple: on ne sait pas calculer calcul de limite (forme indéterminée).

Mais au voisinage de 0, fonctions équivalentes et fonctions équivalentes, donc:

fonctions équivalentes





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