Cours de niveau bac+1
6 - Les développements limités
Développement limité d'une fonction
Le développement limité d'une fonction en un point d'abscisse x=a est la somme d'un polynôme et d'un reste. Un développement limité permet d'approximer une fonction
par un polynôme au voisinage d'un point.
On exprime ce polynôme en fonction de la variable x-a.
Définition
On dit qu'une fonction f admet un développement limité d'ordre n au voisinage de a si f peut s'écrire sous la forme 
, avec
Pour écrire le développement limité d'une fonction en un point, on utilise la formule de Taylor.
Exemples
1. Développement limité d'ordre 3 de la fonction sinus en 0.
D'après la formule de Taylor:
avec c compris entre 0 et x. En simplifiant cette équation, on obtient :
avec 
. Comme
, nous avons bien trouvé un développement limité.
2. Développement limité d'ordre 8 de la fonction cosinus en 0.
On obiendrait de la même manière:
Ces deux développements limités nous donnent de bonnes approximations des fonctions sinus et cosinus par des polynômes au voisinage de 0.
Calcul de limites de fonctions
Définition
Si deux fonctions f et g sont telles que 
, on dit
que f et g sont équivalentes au voisinage de a et on note 
.
Exemple
Les fonctions 
et
sont équivalentes au voisinage de 0.
En effet 
.
Application au calcul de limites
Lorsque deux fonctions sont équivalentes au voisinage d'un point alors elles ont la même limite en ce point. Les développements limités nous permettent donc
de lever des formes indéterminées lors de calculs de limites.
Exemple: on ne sait pas calculer 
(forme indéterminée).
Mais au voisinage de 0, 
et
, donc:
