Cours de seconde
8 - Repères et coordonnées
Un plan est une surface plate infinie.
Les vecteurs
permettent de repérer avec des nombres la position de points dans un plan.
Cela peut permettre d'optimiser des constructions de figures ou de faire des calculs pour prévoir la position d'un objet dans le futur.
Repère du plan
Pour créer un repère dans un plan, on place deux vecteurs non colinéaires
à une même origine.
Pour repérer la position d'un point M dans ce repère, on exprime le vecteur 
en fonction des vecteurs
et 
:
les nombres 
et β
tels que 
sont appelés les coordonnées de M dans le repère
.
On note 
ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et bêta."
Exemples
As-tu compris ?
Lorsque les vecteurs et forment un angle droit, on dit que le repère est orthogonal.
Si de plus ils sont de même longueur, on dit qu'il est orthonormé.
Calculs dans un repère
Coordonnées du milieu de deux points
| Dans un repère, si on connaît les coordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB), alors on peut calculer les coordonnées du point I(xI;yI) milieu de [AB]. Il faut calculer la moyenne  des coordonnées de A et de B.
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Petite question
Coordonnées d'un vecteur
| Dans un repère, on peut attribuer des coordonnées à un vecteur. L'abscisse d'un vecteur, c'est de combien il avance vers la droite. Son ordonnée, c'est de combien il monte vers le haut. Si un vecteur passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors  .
|
 |
Question facile
Distance entre deux points
Dans un repère orthonormé, si  et 
alors la longueur AB mesure  en unités de longueur du graphique.Cette propriété provient du théorème de Pythagore  dans le triangle rectangle APB ci-contre.Pour cet exemple, on obtient  u.g.
|
 |
Entraînement
Colinéarité
Dans un repère, si deux vecteurs 
et
sont colinéaires, alors
.
Réciproquement, si dans un repère deux vecteurs et
sont tels que
, alors ils sont colinéaires.
En effet, si et
sont colinéaires,
alors il existe un nombre k tel que 
.
Donc les coordonnées de sont égales aux coordonnées de
multipliées par un même nombre k (les coordonnées des deux vecteurs
sont proportionnelles
).
On a donc:
En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation, on obtient
.
Entraînement
Le repérage dans un plan
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