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Cours de seconde

8 - Repères et coordonnées

Un plan est une surface plate infinie.

Les vecteursvecteur permettent de repérer avec des nombres la position de points dans un plan.
Cela peut permettre d'optimiser des constructions de figures ou de faire des calculs pour prévoir la position d'un objet dans le futur.


Repère du plan

Pour créer un repère dans un plan, on place deux vecteurs non colinéairesvecteurs colinéaires à une même origine.


repère du plan

Pour repérer la position d'un point M dans ce repère, on exprime le vecteur vecteur en fonction des vecteurs vecteur u et vecteur v : les nombres alpha et β tels que vecteur sont appelés les coordonnées de M dans le repère repère du plan.

On note coordonnées de m ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et bêta."

Exemples

coordonnées dans le plan



As-tu compris ?

Quelles sont les coordonnées du point A dans le repère repère du plan ci-dessous?

repère du plan

A(;)


Lorsque les vecteurs vecteur u et vecteur v forment un angle droit, on dit que le repère est orthogonal.
Si de plus ils sont de même longueur, on dit qu'il est orthonormé.

Calculs dans un repère


Coordonnées du milieu de deux points

Dans un repère, si on connaît les coordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB), alors on peut calculer les coordonnées du point I(xI;yI) milieu de [AB].

Il faut calculer la moyennemoyenne des coordonnées de A et de B.

coordonnées du milieu

distance dans un repère




Petite question

Dans un repère, Q(-13;-7) et R(21;-15).

Quelles sont les coordonnées du point S milieu de [QR]?

xS= yS=

Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère, on peut attribuer des coordonnées à un vecteur.

L'abscisse d'un vecteur, c'est de combien il avance vers la droite. Son ordonnée, c'est de combien il monte vers le haut.

Si un vecteur passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors coordonnées du point B.
coordonnées vecteur dans un repère




Question facile

Dans un repère, L(100;0) et M(0;100).

Quelles sont les coordonnées du vecteur vecteur?

x= y=

Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, si coordonnées du point A et coordonnées du point B alors la longueur AB mesure longueur AB en unités de longueur du graphique.
Cette propriété provient du théorème de Pythagorethéorème de pythagore dans le triangle rectangle APB ci-contre.

Pour cet exemple, on obtient longueur AB u.g.
distance dans un repère



Entraînement

Dans un repère orthonormé,
C(-12;-12) et D(6;-6).

Donne un arrondi à 0,1 près de la longueur CD.
u.g.


Colinéarité

Dans un repère, si deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéairesvecteurs colinéaires, alors relation colinéarité vecteurs.
Réciproquement, si dans un repère deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont tels que relation colinéarité vecteurs, alors ils sont colinéaires.

En effet, si coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires, alors il existe un nombre k tel que relation colinéarité vecteurs.
Donc les coordonnées de vecteur v sont égales aux coordonnées de vecteur u multipliées par un même nombre k (les coordonnées des deux vecteurs sont proportionnellesproportionnalité).
On a donc:

système équations colinéarité vecteurs

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation, on obtient relation colinéarité vecteurs.




Entraînement

Les vecteurs coordonnées vecteur et coordonnées vecteur sont-ils colinéaires?

oui non




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Le repérage dans un plan

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