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Cours de seconde

8 - Repères et coordonnées


Un plan est une surface plate infinie.

Les vecteurs permettent de repérer avec des nombres la position de points dans un plan ou dans l'espace.
Cela permet d'optimiser des constructions de figures ou de faire des calculs pour prévoir la position d'un objet dans le futur.


Repère du plan

Pour créer un repère dans un plan on place deux vecteurs non colinéaires à une même origine.


repère du plan


Pour repérer la position d'un point M relativement à ce repère on exprime le vecteur vecteur en fonction des vecteurs vecteur u et vecteur v : les nombres alpha et β tels que vecteur sont appelés les coordonnées de M dans le repère repère du plan.

On note coordonnees de m ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et bêta."

Exemples

coordonnées dans le plan



As-tu compris?

Quelles sont les coordonnées du point A dans le repère repère du plan ci-dessous?

repère du plan

A(;)



Lorsque les vecteurs vecteur u et vecteur v forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal.
Si en plus ils sont tous deux de même longueur on dit qu'il est orthonormé.


Calculs dans un repère


Coordonnées du milieu de deux points

Dans un repère, si on connaît les coordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors on peut calculer les coordonnées du point I(xI;yI) milieu de [AB].

On calcule la moyenne des coordonnées de A et de B.

coordonnées du milieu

distance dans un repère




Petite question

Dans un repère, Q(-13;-7) et R(21;-15).

Quelles sont les coordonnées du point S milieu de [QR]?

xS= yS=


Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère on peut attribuer des coordonnées à un vecteur.

L'abscisse d'un vecteur c'est de combien il avance vers la droite et son ordonnée c'est de combien il monte vers le haut.

Si un vecteur passe par deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) alors coordonnées du point B.
coordonnées vecteur dans un repère




Question facile

Dans un repère, Q(-13;-7) et R(21;-15).

Quelles sont les coordonnées du vecteur vecteur?

x= y=



Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, si coordonnées du point A et coordonnées du point B alors la longueur AB mesure longueur AB en unités de longueurs du graphique. Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APB ci-contre.

Pour cet exemple on obtient longueur AB u.g.
distance dans un repère



Entraînement

Dans un repère orthonormé,
I(-8;-6) et J(-8;6).

Donne un arrondi à 0,1 près de la longueur IJ. u.g.


Colinéarité

Dans un repère si deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires alors relation colinéarité vecteurs.
Réciproquement si dans un repère deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont tels que relation colinéarité vecteurs alors ils sont colinéaires.

En effet si coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires alors il existe un nombre k tel que relation colinéarité vecteurs. Donc les coordonnées de vecteur v sont égales aux coordonnées de vecteur u multipliées par un même nombre k (les coordonnnées des deux vecteurs sont proportionnelles). On a donc:

système équations colinéarité vecteurs

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient relation colinéarité vecteurs.




Entraînement

Les vecteurs coordonnées vecteur et coordonnées vecteur sont-ils colinéaires?

oui non



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Le repérage dans un plan

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Sur le web

- Le produit scalaire (1ère). Produit scalaire de deux vecteurs, orthogonalité de vecteurs, norme d'un vecteur, théorème d'Al Kashi.
- Géométrie (Tle). Equations de droites et de plans de l'espace.