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Cours de seconde

7 - Repères et coordonnées


Un plan est une surface plate infinie.

Les vecteurs permettent de repérer la position de points dans un plan.


Repère du plan

Pour créer un repère dans un plan on utilise deux vecteurs non colinéaires que l'on place à une même origine.


repère du plan


Pour repérer la position d'un point M dans ce repère on exprime le vecteur vecteur en fonction des vecteurs vecteur u et vecteur v : les nombres alpha et β tels que vecteur sont appelés les coordonnées de M dans le repère repère du plan.

On note coordonnees de m ce qui se lit : "M a pour coordonnées alpha et bêta."

Exemples

coordonnées dans le plan





As-tu compris?

Quelles sont les coordonnées du point A dans le repère repère du plan ci-dessous?

Donne les nombres x et y tels que A(x;y). Utilise seulement des nombres entiers.

repère du plan

x= y=


Lorsque les vecteurs vecteur u et vecteur v forment un angle droit on dit que le repère est orthogonal.
Si en plus ils sont tous deux de même longueur on dit qu'il est orthonormé.


Calculs dans un repère


Coordonnées du milieu de deux points

Dans un repère, si on connaît les coordonnées de deux points coordonnées du point A et coordonnées du point B alors on peut calculer les coordonnées du point coordonnées du point I milieu de [AB].

Pour cela on calcule la moyenne des coordonnées de A et de B.

coordonnées du milieu

Question
Dans un repère Z(37;-5) et A(-41;-7).
Quelles sont les coordonnées du point B milieu de [ZA]?
xB= yB=
distance dans un repère


Coordonnées d'un vecteur

Dans un repère un vecteur possède des coordonnées.

L'abscisse d'un vecteur c'est de combien il avance et son ordonnée c'est de combien il monte.

Si un vecteur passe par deux points coordonnées du point A et coordonnées du point B alors coordonnées du point B.

Question facile
Dans un repère Z(37;-5) et A(-51;-7).
Quelles sont les coordonnées du vecteur vecteur?
xB= yB=
coordonnées vecteur dans un repère





Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, si coordonnées du point A et coordonnées du point B alors la longueur AB mesure longueur AB en unités de longueurs du graphique. Cette propriété provient du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle APB ci-contre.

Pour cet exemple on obtient longueur AB u.g.

Entraînement
Dans un repère orthonormé, Q(-13;-7) et R(21;-16).
Donne un arrondi à 0,1 près de la longueur QR.
distance dans un repère

Colinéarité

Dans un repère si deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires alors relation colinéarité vecteurs.
Réciproquement si dans un repère deux vecteurs coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont tels que relation colinéarité vecteurs alors ils sont colinéaires.

En effet si coordonnées du vecteur U et coordonnées du vecteur V sont colinéaires alors il existe un nombre k tel que relation colinéarité vecteurs. Donc les coordonnées de vecteur v sont égales aux coordonnées de vecteur u multipliées par un même nombre k (les coordonnnées de deux vecteurs sont proportionnelles). On a donc:

système équations colinéarité vecteurs

En isolant k dans une équation et en remplaçant sa valeur dans l'autre équation on obtient relation colinéarité vecteurs.


Petite question
Les vecteurs coordonnées vecteur et coordonnées vecteur sont-ils colinéaires? oui non


>>> Géométrie >>>


Le repérage dans un plan

cours, cours en vidéo, exercices


Sur le web

- Le produit scalaire (1ère). Produit scalaire de deux vecteurs, orthogonalité de vecteurs, norme d'un vecteur, théorème d'Al Kashi.
- Géométrie (Tle). Equations de droites et de plans de l'espace.


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