Cours de cinquième
7 - Statistiques
Les statistiques sont l'étude des listes de nombres.
Ces listes sont issues d'expériences, d'études ou de mesures.
Lorsqu'il y a beaucoup de nombres à traiter, il peut être utile de les représenter sous la forme d'un graphique et de calculer
quelques valeurs particulières comme l'étendue, la moyenne ou la médiane.
C'est ce que nous allons voir dans ce cours, en utilisant la liste de nombres suivante : 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6 et 7.
Étendue, moyenne et médiane
L'étendue
L'étendue d'une liste de nombres est la différence
entre la plus grande et la plus petite valeur de la liste.
L'étendue de notre liste est 6, car 7-1=6.
La moyenne
La moyenne de n nombres est le quotient
par n de la somme
de ces n nombres.
Comme (1+2+2+2+3+5+5+6+6+7)÷10=3,9, la moyenne de notre liste est 3,9.
As-tu compris ?
Quelle est la moyenne des nombres ci-dessous ?
7, 7 et 7
La médiane
La médiane d'une liste de nombres est la valeur telle que, lorsque la liste est rangée dans l'ordre croissant, il y a autant de valeurs à gauche de la médiane que de valeurs à droite.
Il y a donc toujours autant de valeurs inférieures à la médiane que de valeurs supérieures.
Le calcul de la médiane n'est pas le même si la liste contient un nombre pair (2, 4, 6, 8...) ou impair (1, 3, 5, 7, ...) de valeurs.
Méthode
Pour trouver la médiane d'une liste de nombres.
- 1. On range les valeurs dans l'ordre croissant.
- 2. On compte le nombre N de valeurs.
- 3. On regarde si N est pair ou impair.
- 4. Si N est impair, on calcule (N+1)÷2=M et on prend la Mème valeur de la série.
Si N est pair, on calcule la moyenne de la (N÷2)ème et de la (N÷2+1)ème valeurs.
Exemples
Notre liste 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6 et 7 contient 10 valeurs rangées dans l'ordre croissant. Comme 10 est un nombre pair et que 10÷2=5, on calcule la moyenne de la 5ème et de la 6ème valeur. La cinquième valeur est 3, la sixième est 5, la moyenne de 3 et 5 est 4 (8÷2) donc la médiane est 4.
Ajoutons maintenant la valeur 8 à notre liste.
La liste devient 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 7 et 8.
Désormais, N=11.
On calcule (N+1)÷2. On obtient 6.
On prend la 6ème valeur. C'est un 5 donc la médiane est 5.
As-tu compris ?
Quelle est la médiane des nombres ci-dessous ?
1, 2, 4, 7 et 11
Fréquence et représentation graphique
Fréquence d'apparition d'une valeur
La fréquence d'apparition d'une valeur est un nombre compris entre 0 et 1 qui indique si la valeur apparaît souvent.
Elle se calcule en divisant le nombre de fois où la valeur apparaît dans la liste, par le nombre de valeurs totales de la liste.
Par exemple, pour notre liste 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6 et 7, la fréquence d'apparition du nombre 2 est \(\large{\frac{3}{10}}\).
Il est possible de regrouper les fréquences dans un tableau.
| Valeur | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
| Fréquence | \(\large{\frac{1}{10}}\) | \(\large{\frac{3}{10}}\) | \(\large{\frac{1}{10}}\) | \(\large{\frac{2}{10}}\) | \(\large{\frac{2}{10}}\) | \(\large{\frac{1}{10}}\) |
Si on multiplie les fréquences par 100, on obtient des fréquences en pourcentage.
| Valeur | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
| Fréquence en % | 10% | 30% | 10% | 20% | 20% | 10% |
On peut lire dans le tableau que 30% des valeurs de la liste sont des 2.
On peut aussi dire que la valeur 7 représente 10% des valeurs de la liste.
Si on multiplie les fréquences par 360, on obtient des mesures d'angles en degrés.
Ces mesures d'angles sont utiles pour tracer des diagrammes circulaires.
| Valeur | 1 | 2 | 3 | 5 | 6 | 7 |
| Angles en degrés | 36 | 108 | 36 | 72 | 72 | 36 |
As-tu compris ?
Question 1/3
Quelle est la fréquence d'apparition du nombre 15 dans la liste ci-dessous ?
10, 15, 15, 23 , 27 , 31 , 33, 35, 35 et 36
Représentation graphique
Le diagramme circulaire
Un diagramme circulaire est un cercle divisé en différentes sections partant du centre.
Pour tracer un diagramme circulaire, on utilise un rapporteur et les fréquences en degrés.
On peut utiliser des couleurs pour différencier les sections.
Le diagramme circulaire ci-dessous représente notre liste de nombres 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6 et 7.
Le diagramme en bâtons
Un diagramme en bâtons est formé par une ligne horizontale sur laquelle sont placés à intervalles réguliers des segments (les bâtons)
verticaux dont la hauteur indique l'importance de la valeur associée.
Pour tracer un diagramme en bâtons :
- 1. On choisit une hauteur souhaitée pour le diagramme (en fonction de la place disponible sur la feuille).
- 2. On trace un tableau de proportionnalité
. Sur la première ligne, on écrit les nombres de fois (appelés effectifs) où les différentes valeurs apparaissent. - 3. En dessous de la plus grande valeur, on écrit la taille en centimètres choisie à l'étape 1.
- 4. On complète les valeurs manquantes afin de respecter les règles de proportionnalité (voir cours proportionnalité).
- 5. On trace une ligne horizontale, qui sera en bas du diagramme.
- 6. À intervalles réguliers, on place des segments verticaux de hauteur correspondant à la deuxième ligne.
Par exemple, pour notre liste 1, 2, 2, 2, 3, 5, 5, 6, 6 et 7 :
1. Choisissons 15 centimètres de haut.
2. Les effectifs sont 1, 2 ou 3.
3. On place 15 centimètres.
4.
5.
6.
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