Comprendre les maths!

Cours de troisième

10 - Probabilités

Les probabilités sont l'étude des phénomènes (appelés expériences aléatoires) pour lesquels la réalisation de différentes possibilités (appelées issues) relève du hasard.

Les probabilités associent un nombre à chaque issue afin de pouvoir les comparer et effectuer des calculs qui permettent de prendre des bonnes décisions avant la réalisation du phénomène.

Cela permet par exemple d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain (ou de perte) au loto ou encore de calculer des probabilités de pluie à 10 minutes pour décider d'interrompre ou non un match à Roland Garros.

Ce cours sur les probabilités est le premier d'une série que nous continuerons en seconde, en première et en terminale. Dans ce premier cours nous allons introduire du vocabulaire et apprendre à calculer des probabilités dans des cas simples.

Issues et ensembles d'issues

Généralement on ne s'intéresse pas aux chances de réalisation d'une seule issue mais à celles d'un ensemble de plusieurs issues.

Exemple
On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse aux chances d'obtenir un nombre strictement plus petit que 3. Cette possibilité contient 2 issues.





Événement

En probabilités, un événement est un ensemble formé d'une ou plusieurs issues relatives à une même expérience aléatoire.

Exemple
Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement E : "Obtenir un nombre strictement plus petit que 3".


Notation ensembliste

En probabilités le langage et les notations sur les ensembles sont très utilisés.

Exemple


lancer de dé événements




Probabilité d'un événement

La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui dépend de ses chances de réalisation (proche de 0 : très improbable, proche de 1 : très probable).

Les probabilités des issues d'une expérience aléatoire sont définies de telle manière que la somme des probabilités de toutes les issues soit égale à 1. Cela implique, si toutes les issues ont les mêmes chances de se produire (on dit alors qu'elles sont équiprobables) que la probabilité de chacune d'entre elles est égale à 1 divisé par le nombre d'issues.

La loi de probabilité d'une expérience aléatoire est un tableau à deux lignes dans lequel on inscrit sur la première ligne les différentes issues et sur la deuxième leurs probabilités.

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemples

1. Lancé d'un dé non truqué à 6 faces.
On considère l'événement A="Obtenir 5 ou 6".

lancer de dé événements

(se lit : "P de A égal un tiers").



As-tu compris?

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules bleues et 5 boules violettes de mêmes dimensions.

urne avec boules

Quelle est la probabilité de tirer une boule violette?

Numérateur:
Dénominateur:

2.

probabilités



Entraînement

On considère l'expérience aléatoire ci-dessus.

Quelle est la probabilité que demain à Besançon à 14h il fasse entre 12 et 24 degrés?



Evénements particuliers

Voyons maintenant différents types d'événements.

L'événement certain

L'événement certain est l'évènement formé par l'ensemble de toutes les issues de l'expérience aléatoire. On est sûr qu'il va se produire. Sa probabilité est 1.

L'événement impossible

L'événement impossible est l'événement qui ne contient aucune issue de l'expérience aléatoire. Il ne va pas se produire. Sa probabilité est 0.

L'événement contraire

L'événement contraire d'un évènement A est l'événement qui contient toutes les issues de l'expérience aléatoire que A ne contient pas. Par exemple, pour un lancé de dé, si A est l'évènement "obtenir un nombre impair", ce qui se représente en notation ensembliste par {1;3;5}, alors l'évènement contraire de A est l'événement "obtenir un nombre pair", qui se représente par {2;4;6}.

Les événements incompatibles

Deux événements incompatibles sont deux événements qui n'ont aucune issue en commun. Toujours dans le cas d'un lancé de dé à 6 faces, les évènements {1;2} et {5;6} sont incompatibles.




Probabilités et fréquences

Pour une expérience répétée un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'une valeur se rapproche de sa probabilité avec le temps. Ce phénomène est connu sous le nom de "loi des grands nombres".

Exemple

On lance 20 fois de suite un dé à 6 faces, on obtient le tableau suivant.

Chiffre obtenu 1 2 3 4 5 6
Apparitions 3 0 5 3 4 5
Fréquence 0,15 0 0,25 0,15 0,2 0,25

On effectue 80 lancés suplémentaires. On obtient le tableau suivant.

Chiffre obtenu 1 2 3 4 5 6
Apparitions 18 11 21 16 17 17
Fréquence 0,18 0,11 0,21 0,16 0,17 0,17

Puis on fait encore 400 lancés supplémentaires. On obtient le tableau suivant.

Chiffre obtenu 1 2 3 4 5 6
Apparitions 78 76 88 84 85 89
Fréquence 0,156 0,152 0,176 0,168 0,17 0,178

On constate que les fréquences d'apparition de chaque valeur se rapprochent de leur probabilités qui font toutes un sixième soit environ 0,167.

On pourrait faire des simulations plus grandes et obtenir des résultats plus précis en utilisant des algorithmes et des programmes informatiques.




>>> Le PGCD >>>


Les probabilités en troisième sur cmath.fr

cours, exercices, questions (1)


Sur le web

- Probabilités seconde : Calculs de probabilités dans le cas de la répétition d'une même expérience aléatoire, union et intersection d'événements.
- Probabilités première : Variable aléatoire, espérance, variance, répétition d'expériences identiques, loi binomiale.
- Probabilités terminale : Probabilités conditionnelles, dénombrement.


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