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Cours de troisième

10 - Probabilités

Les probabilités sont l'étude des phénomènes pour lesquels la réalisation de différentes possibilités dépend du hasard.
Ces phénomènes sont appelés des expériences aléatoires. Les différentes possibilités sont appelées des issues, ou événements élémentaires.
Par exemple, lancer un dé à 6 faces est une expérience aléatoire et "obtenir 6" est une issue.

Les probabilités associent un nombre compris entre 0 et 1 à chaque issue afin de pouvoir comparer les chances des issues et effectuer des calculs.
Ces calculs aident à prendre des bonnes décisions avant la réalisation du phénomène.

Les probabilités permettent d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain ou de perte dans des jeux d'argent ou encore de calculer des probabilités de pluie à 10 minutes pour décider d'interrompre ou non un match à Roland Garros.

Dans ce premier cours sur les probabilités, nous allons introduire du vocabulaire et apprendre à calculer des probabilités dans des cas simples.
Nous continuerons l'étude des probabilités en seconde, en première et en terminale.

Vocabulaire : issues et événements

Généralement, on ne s'intéresse pas aux chances de réalisation d'une seule issue, mais à celles d'un ensemble de plusieurs issues.

Exemple
On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse aux chances d'obtenir un nombre strictement plus petit que 3. Cette possibilité contient 2 issues : "obtenir 1" et "obtenir 2".





Événement

En probabilités, un événement est un ensemble formé d'une ou plusieurs issues relatives à une même expérience aléatoire.

Exemple
Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement E : "Obtenir un nombre strictement plus petit que 3".


Notation

En probabilités, le langage et les notations sur les ensembles sont très utilisés.

Exemple


lancer de dé événements




Probabilité d'un événement

Probabilité d'une issue

La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui dépend de ses chances de réalisation (proche de 0 : très improbable, proche de 1 : très probable).

Par exemple, si la probabilité qu'il pleuve demain est fraction, il y a de fortes chances qu'il pleuve demain.
Par contre, si la probabilité de gagner la super cagnotte au loto est 0,00000034, on a très peu de chances de gagner la super cagnotte.


Loi de probabilité d'une expérience aléatoire

Les probabilités des issues d'une expérience aléatoire sont telles que leur somme fasse toujours 1.
Si toutes les issues ont les mêmes chances de se produire, la probabilité de chacune d'entre elles est donc égale à 1 divisé par le nombre total d'issues.
Dans ce cas, on dit que les issues sont équiprobables.

Pour bien visualiser les probabilités des issues d'une expérience aléatoire, on peut faire un tableau à deux lignes dans lequel on écrit sur la première ligne les différentes issues et sur la deuxième leurs probabilités. Un tel tableau est appelé une loi de probabilité.

exemples de lois de probabilités

Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le compose.

Exemples

1. Lancé d'un dé non truqué à 6 faces.
On considère l'événement A="Obtenir 5 ou 6".

lancer de dé événements

(se lit : "P de A égal un tiers").



As-tu compris ?

On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules bleues et 5 boules violettes de mêmes dimensions.

urne avec boules

Quelle est la probabilité de tirer une boule violette ?

Numérateur:
Dénominateur:

2.

probabilités



Entraînement

On considère l'expérience aléatoire ci-dessus.

Quelle est la probabilité que demain à Besançon à 14h il fasse entre 18 et 24 degrés?


Événements particuliers

Voyons maintenant différents types d'événements.

L'événement certain

L'événement certain est l'événement formé par l'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire. On est sûr qu'il va se produire. Sa probabilité est 1.

L'événement impossible

L'événement impossible est l'événement qui ne contient aucune issue de l'expérience aléatoire. Il ne va pas se produire. Sa probabilité est 0.

L'événement contraire

L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui contient toutes les issues de l'expérience aléatoire que A ne contient pas.
Par exemple, pour un lancé de dé, si A est l'événement "obtenir un nombre impair", ce qui se représente en notation ensembliste par {1;3;5}, alors l'événement contraire de A est l'événement "obtenir un nombre pair", qui se représente par {2;4;6}.

Les événements incompatibles

Deux événements incompatibles sont deux événements qui n'ont pas d'issue commune.
Toujours dans le cas du lancé d'un dé à 6 faces, les événements {1;2} et {5;6} sont incompatibles.




Probabilités et fréquences

Pour une expérience répétée un grand nombre de fois, on remarque que la fréquence d'apparition d'une valeur se rapproche de sa probabilité avec le temps.
Ce phénomène est connu sous le nom de "loi des grands nombres".

Exemple

On lance 20 fois de suite un dé à 6 faces, on obtient le tableau suivant :

Chiffre obtenu 1 2 3 4 5 6
Apparitions 3 0 5 3 4 5
Fréquence 0,15 0 0,25 0,15 0,2 0,25

On effectue alors 80 lancés supplémentaires. On obtient le tableau suivant :

Chiffre obtenu 1 2 3 4 5 6
Apparitions 18 11 21 16 17 17
Fréquence 0,18 0,11 0,21 0,16 0,17 0,17

Puis on fait encore 400 lancés supplémentaires et on obtient le tableau suivant :

Chiffre obtenu 1 2 3 4 5 6
Apparitions 78 76 88 84 85 89
Fréquence 0,156 0,152 0,176 0,168 0,17 0,178

On constate que les fréquences d'apparition de chaque valeur se rapprochent de leurs probabilités, qui font toutes un sixième soit environ 0,167.

On pourrait faire des simulations plus grandes et obtenir des résultats plus précis en utilisant des algorithmes et des programmes informatiques.




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Sur le web

- Probabilités seconde : Calculs de probabilités dans le cas de la répétition d'une même expérience aléatoire, union et intersection d'événements.
- Probabilités première : Variable aléatoire, espérance, variance, répétition d'expériences identiques, loi binomiale.
- Probabilités terminale : Probabilités conditionnelles, dénombrement.


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