Cours de troisième
10 - Probabilités
Les probabilités sont l'étude des phénomènes pour lesquels la réalisation de différentes possibilités dépend du hasard.
Ces phénomènes sont appelés des expériences aléatoires. Les différentes possibilités sont appelées des issues, ou événements élémentaires.
Par exemple, lancer un dé à 6 faces est une expérience aléatoire et "obtenir 6" est une issue.
Les probabilités associent un nombre compris entre 0 et 1 à chaque issue afin de pouvoir comparer les chances des issues et effectuer des calculs.
Ces calculs aident à prendre des bonnes décisions avant la réalisation du phénomène.
Les probabilités permettent d'optimiser des coûts dans une entreprise, de calculer des chances de gain ou de perte dans des jeux d'argent
ou encore de calculer des probabilités de pluie à 10 minutes pour décider d'interrompre ou non un match à Roland Garros.
Dans ce premier cours sur les probabilités, nous allons introduire du vocabulaire et apprendre à calculer des probabilités dans des cas simples.
Nous continuerons l'étude des probabilités en seconde,
en première et en terminale.
Vocabulaire : issues et événements
Généralement, on ne s'intéresse pas aux chances de réalisation d'une seule issue, mais à celles d'un ensemble de plusieurs issues.
Exemple
On lance un dé à 6 faces et on s'intéresse aux chances d'obtenir un nombre strictement plus petit que 3. Cette possibilité contient 2 issues : "obtenir 1" et "obtenir 2".
Événement
En probabilités, un événement est un ensemble formé d'une ou plusieurs issues relatives à une même expérience aléatoire.
Exemple
Expérience aléatoire : lancé d'un dé à 6 faces.
Événement E : "Obtenir un nombre strictement plus petit que 3".
Notation
En probabilités, le langage et les notations sur les ensembles sont très utilisés.
Exemple
Probabilité d'un événement
Probabilité d'une issue
La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1 qui dépend de ses chances de réalisation (proche de 0 : très improbable, proche de 1 : très probable).
Par exemple, si la probabilité qu'il pleuve demain est 
, il y a de fortes chances qu'il pleuve demain.
Par contre, si la probabilité de gagner la super cagnotte au loto est 0,00000034, on a très peu de chances de gagner la super cagnotte.
Loi de probabilité d'une expérience aléatoire
Les probabilités des issues d'une expérience aléatoire sont telles que leur somme
fasse toujours 1.
Si toutes les issues ont les mêmes chances de se produire, la probabilité de chacune d'entre elles est donc égale à 1 divisé par le nombre total d'issues.
Dans ce cas, on dit que les issues sont équiprobables.
Pour bien visualiser les probabilités des issues d'une expérience aléatoire, on peut faire un tableau à deux lignes dans lequel on écrit sur la première ligne les différentes issues
et sur la deuxième leurs probabilités.
Un tel tableau est appelé une loi de probabilité.
Probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le compose.
Exemples
1.
Lancé d'un dé non truqué à 6 faces.
On considère l'événement A="Obtenir 5 ou 6".
(se lit : "P de A égal un tiers").
As-tu compris ?
2.
Entraînement
Événements particuliers
Voyons maintenant différents types d'événements.
L'événement certain
L'événement certain est l'événement formé par l'ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire. On est sûr qu'il va se produire. Sa probabilité est 1.
L'événement impossible
L'événement impossible est l'événement qui ne contient aucune issue de l'expérience aléatoire. Il ne va pas se produire. Sa probabilité est 0.
L'événement contraire
L'événement contraire d'un événement A est l'événement qui contient toutes les issues de l'expérience aléatoire que A ne contient pas.
Par exemple, pour un lancé de dé, si A est l'événement "obtenir un nombre impair", ce qui se représente en notation ensembliste par {1;3;5}, alors l'événement contraire de A est l'événement "obtenir un nombre pair", qui se représente par {2;4;6}.
Les événements incompatibles
Deux événements incompatibles sont deux événements qui n'ont pas d'issue commune.
Toujours dans le cas du lancé d'un dé à 6 faces, les événements {1;2} et {5;6} sont incompatibles.
Probabilités et fréquences
Pour une expérience répétée un grand nombre de fois, on remarque que la fréquence
d'apparition d'une valeur se rapproche de sa probabilité avec le temps.
Ce phénomène est connu sous le nom de "loi des grands nombres".
Exemple
On lance 20 fois de suite un dé à 6 faces, on obtient le tableau suivant :
| Chiffre obtenu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Apparitions | 3 | 0 | 5 | 3 | 4 | 5 |
| Fréquence | 0,15 | 0 | 0,25 | 0,15 | 0,2 | 0,25 |
On effectue alors 80 lancés supplémentaires. On obtient le tableau suivant :
| Chiffre obtenu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Apparitions | 18 | 11 | 21 | 16 | 17 | 17 |
| Fréquence | 0,18 | 0,11 | 0,21 | 0,16 | 0,17 | 0,17 |
Puis on fait encore 400 lancés supplémentaires et on obtient le tableau suivant :
| Chiffre obtenu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Apparitions | 78 | 76 | 88 | 84 | 85 | 89 |
| Fréquence | 0,156 | 0,152 | 0,176 | 0,168 | 0,17 | 0,178 |
On constate que les fréquences d'apparition de chaque valeur se rapprochent de leurs probabilités, qui font toutes un sixième soit environ 0,167.
On pourrait faire des simulations plus grandes et obtenir des résultats plus précis en utilisant des algorithmes
et des programmes informatiques.
>>> Cours de seconde sur l'algorithmique >>>
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Sur le web
• Cours de probabilités de seconde. Calculs de probabilités dans le cas de la répétition d'une même expérience aléatoire, union et intersection d'événements.
• Cours de probabilités de première. Répétition d'expériences aléatoires, les probabilités conditionnelles.
• Cours de première sur les variables aléatoires. Loi de probabilité d'une variable aléatoire. Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire.
• Cours de probabilités de terminale. Probabilités conditionnelles, dénombrement.
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