Cours de cinquième

9 - Triangles et quadrilatères

Dans ce cours de géométrie, nous allons apprendre à nommer certaines droites particulières : la bissectrice d'un angle, la médiatrice d'un segment, ainsi que la hauteur et la médiane d'un triangle.

Ensuite, nous approfondirons notre connaissance des triangles et des quadrilatères.

Droites particulières

Bissectrice

Médiatrice

La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu.

Il est possible de construire une bissectrice et une médiatrice sans utiliser de rapporteur ni d'équerre.
Une règle et un compas sont suffisants.

Hauteur

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe son côté opposé en formant un angle droit.

Médiane

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu.

Points particuliers d'un triangle

Dans un triangle, les 3 bissectrices issues des angles se coupent toujours en un même point (on dit qu'elles sont concourantes).

De même, les 3 hauteurs, les 3 médianes, et les 3 médiatrices d'un triangle sont aussi concourantes.

- Le point d'intersection des médianes s'appelle le centre de gravité du triangle. Il est situé exactement aux 2 tiers des médianes lorsque l'on part des sommets.

- Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre du triangle.

- Le point d'intersection des médiatrices n'a pas de nom, mais c'est sur ce point qu'on doit placer la pointe d'un compas pour tracer le cercle qui passe par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

- Enfin, le point d'intersection des bissectrices n'a pas de nom non plus, mais il permet de construire le plus grand cercle qu'on peut placer à l'intérieur du triangle, appelé le cercle inscrit.

Propriétés des quadrilatères

Le tableau ci-dessous donne les principales propriétés des quadrilatères particuliers.

Il est inutile de les apprendre par cœur, car un petit dessin suffit généralement à les retrouver.

Nom	Côtés	Diagonales	Figure
Parallélogramme	Côtés opposés parallèles et de même longueur	Les diagonales se coupent en leur milieu.
Losange	Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles	Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Rectangle	Côtés opposés parallèles et de même longueur	Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Carré	Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles	Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur.

Les propriétés sur les diagonales sont utiles pour réaliser des démonstrations.
Par exemple, pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, on peut simplement démontrer que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.

>>> Cours de quatrième sur les nombres relatifs >>>

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