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Cours de cinquième

9 - Triangles et quadrilatères

Dans ce cours de géométrie, nous allons apprendre à nommer certaines droites particulières : la bissectrice d'un angle, la médiatrice d'un segment, ainsi que la hauteur et la médiane d'un triangle.

Ensuite, nous approfondirons notre connaissance des trianglestriangle et des quadrilatèresquadrilatère.


Droites particulières

Bissectrice

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui divise cet angle en deux angles égaux.

bissectrice

Médiatrice

La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculairedroites perpendiculaires à ce segment et qui passe par son milieu.

médiatrice



Il est possible de construire une bissectrice et une médiatrice sans utiliser de rapporteur ni d'équerre.
Une règle et un compas sont suffisants.

bissectrice


médiatrice


Hauteur

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et qui coupe son côté opposé en formant un angle droit.

hauteur triangle


Médiane

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu.

médiane triangle


Points particuliers d'un triangle

Dans un triangle, les 3 bissectrices issues des angles se coupent toujours en un même point (on dit qu'elles sont concourantes).

De même, les 3 hauteurs, les 3 médianes, et les 3 médiatrices d'un triangle sont aussi concourantes.

- Le point d'intersection des médianes s'appelle le centre de gravité du triangle. Il est situé exactement aux 2 tiers des médianes lorsque l'on part des sommets.

- Le point d'intersection des hauteurs s'appelle l'orthocentre du triangle.

- Le point d'intersection des médiatrices n'a pas de nom, mais c'est sur ce point qu'on doit placer la pointe d'un compas pour tracer le cercle qui passe par les 3 sommets du triangle, appelé cercle circonscrit au triangle.

- Enfin, le point d'intersection des bissectrices n'a pas de nom non plus, mais il permet de construire le plus grand cercle qu'on peut placer à l'intérieur du triangle, appelé le cercle inscrit.

centre de gravité orthocentre cercle circonscrit cercle inscrit


Propriétés des quadrilatères

Le tableau ci-dessous donne les principales propriétés des quadrilatèresquadrilatère particuliers.

Il est inutile de les apprendre par cœur, car un petit dessin suffit généralement à les retrouver.

Nom Côtés Diagonales Figure
Parallélogramme Côtés opposés parallèles et de même longueur Les diagonales se coupent en leur milieu. parallélogramme
Losange Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles Les diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. losange
Rectangle Côtés opposés parallèles et de même longueur Les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur. rectangle
Carré Côtés de même longueur, côtés opposés parallèles Les diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et sont de même longueur. carré

Les propriétés sur les diagonales sont utiles pour réaliser des démonstrations.
Par exemple, pour démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle, on peut simplement démontrer que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.




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