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Cours de terminale

2 - Limites de fonctions

La notion de limite de fonction a été inventée pour décrire le comportement d'une fonction aux extrémités de son ensemble de définition, au voisinage de points pour lequels on ne peut pas calculer d'image, par exemple au voisinage de +∞ pour f(x)=x² ou au voisinage 0 pour f(x)=1/x.

Pour comprendre ce cours il faut au préalable avoir compris celui sur les limites de suites!



Limite de fonction

Limite finie en l'infini

On dit qu'une fonction admet une limite finie l en +∞ si pour tout nombre ε fixé à l'avance aussi petit que l'on veut, il existe un x à partir duquel la distance entre f(x) et l (que l'on peut noter |f(x)-l|) est inférieure à ε.


limite fonction en infini


Nous avons la même chose en -∞ : limite fonction en mois infini si ∀ε>0 ∃x0 tel que ∀x<x0 |f(x)-l|<ε.


limite fonction en infini



Exemples
limite
limite

On utilise les mêmes règles de calcul que pour les limites de suites.



Limite infinie en l'infini

Une dit qu'une fonction a pour limite +∞ en +∞ si pour tout nombre M fixé à l'avance aussi grand que l'on veut, il existe un x à partir duquel toutes les valeurs de f(x) sont supérieures à M.

Nous avons des définitions similaires (limite +∞ ou -∞) pour la limite en -∞.

Exemples


limite fonction en infini


Limite en un point

Il est aussi possible de parler de limite en un point.

Si la fonction est continue (ce qui signifie que l'on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon) on a toujours limite fonction continue.

Sinon, on doit introduire la limite à gauche et la limite à droite de ce point.
On note + ou - en exposant à côté de cette valeur.

limite fonction en un point



As-tu compris?

A ton avis, combien fait limite?

exemple limite de fonction
-∞ 0 1 +∞



Calcul de limite

Pour calculer la limite d'une fonction on repère les fonctions usuelles (x², 1/x, √x) qui la compose et on utilise leurs limites connues et les opérations sur les limites.

Les règles (somme, différence, produit ou quotient de limites) sont les mêmes que pour le calcul des limites de suites.

Exemples

exemple limite car c'est la limite d'une somme de fonctions qui tendent vers +∞.
exemple limite. Il y a une forme indéterminée. Il faut factoriser par x.
exemple limite car c'est la limite d'un produit de fonctions qui tendent vers +∞.
exemple limite car c'est de la forme 2÷0+ (0 par valeurs positives).
exemple limite. Il y a une forme indéterminée, il faut factoriser par x² en haut et en bas.


Limite d'une fonction composée

Une fonction composée est une fonction composée d'une fonction qui contient une autre fonction, par exemple fonction composée ou fonction composée.

Nous avons f(x)=u(v(x)) avec u(x)=x3 et fonction composée.
Et g(x)=a(b(x)) avec a(x)=√x et b(x)=x²+1.

On note fonction composée et fonction composée.

Pour calculer la limite d'une fonction composée on commence par calculer la limite (notons la L) de la fonction qui est à l'intérieur de l'autre puis on calcule la limite quand X tend vers L de la fonction qui englobe l'autre.


Exemples

  • Pour calcul limite fonction composée on a calcul limite fonction composée et calcul limite fonction composée donc calcul limite fonction composée.

  • Pour calcul limite fonction composée on a calcul limite fonction composée et calcul limite fonction composée donc calcul limite fonction composée.


  • Entrainement

    Combien fait calcul limite?

    -∞ 0 1 +∞



    Voyons enfin deux techniques qui permettent de calculer des limites dans certaines situations.



    Forme indéterminée 0÷0

    Par exemple pour limite indéterminée 0.

    Dans ce cas on utilise la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.

    En effet comme forme indéterminée et nombre dérivé on a aussi forme indéterminée et nombre dérivé!

    Donc forme indéterminée et nombre dérivé avec fonction racine carrée. Donc fonction racine carrée.


    Forme indéterminée avec racine carrée

    Quand il y a une forme indéterminée avec des racines carrées, par exemple pour limite racines carrée avec conjugué, on peut essayer de faire apparaître l'expression conjuguée.

    L'expression conjuguée d'une somme a+b c'est la différence a-b.
    Cela a pour effet de supprimer les racines carrées qui nous gênent en utilisant la troisième identité remarquable.

    Pour cet exemple on obtient :

    limite racines carrée avec conjugué



    Interprétation graphique : les asymptotes

    Une asymptote à une courbe est une droite qui se rapproche de plus en plus de la courbe sans jamais la toucher.

    Il existe 3 types d'asymptotes.

    asymptote horizontale L'asymptote horizontale, lorsque equation asymptote horizontale.

    Son équation est y=a.
    L'asymptote verticale, lorsque equation asymptote verticale.

    Son équation est x=a.
    asymptote verticale
    asymptote oblique L'asymptote oblique. Son équation est equation asymptote oblique. On a asymptote oblique.

    La hauteur du trait vert, qui représente la distance entre la courbe et son asymptote, tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.




    >>> Les probabilités >>>


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