Cours de terminale

2 - Limites de fonctions

Dans le cours précédent, nous avons étudié les limites de suites.

Dans ce cours, nous allons étendre la notion de limite aux fonctions.

Cela va nous permettre de décrire le comportement d'une fonction lorsque x tend vers -∞ ou +∞, ou aux alentours de valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas définie.

Limite de fonction

Limite finie en l'infini

On dit qu'une fonction admet une limite finie l en +∞ si pour tout nombre ε fixé à l'avance, aussi petit que l'on veut, il existe un x à partir duquel la distance entre f(x) et l (que l'on peut noter |f(x)-l|) est inférieure à ε.

De même, en -∞, si ∀ε>0 ∃x₀ tel que ∀x<x₀ |f(x)-l|<ε.

Exemples



On utilise les mêmes règles de calcul que pour les limites de suites.

Limite infinie en l'infini

On dit qu'une fonction a pour limite +∞ en +∞ si pour tout nombre M fixé à l'avance, aussi grand que l'on veut, il existe un x à partir duquel toutes les valeurs de f(x) sont supérieures à M.

Il existe des définitions similaires (limite +∞ ou -∞) pour la limite en -∞.

Exemples

Limite en une abscisse x=a.

Il est aussi possible de parler de limite locale en x=a, avec a un nombre réel.

Si la fonction est continue (ce qui signifie qu'on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon), on a toujours .

Sinon, on doit introduire la limite à gauche et la limite à droite de la fonction en x=a.
Pour différencier ces deux limites, on place un + ou un - en exposant à côté de a.

Calcul de limite

Pour calculer la limite d'une fonction, il faut repérer les fonctions usuelles (x², 1/x, √x) qui la compose et utiliser leurs limites connues et les opérations sur les limites.

Les règles (somme, différence, produit ou quotient de limites) sont les mêmes que celles du calcul des limites de suites.

Exemples

, car c'est la limite d'une somme de fonctions qui tendent vers +∞.

. Il y a une forme indéterminée. Il faut factoriser par x.

, car c'est la limite d'un produit de fonctions qui tendent vers +∞.

, car c'est de la forme 2÷0⁺ (0 par valeurs positives).

. Il y a une forme indéterminée, il faut factoriser par x² en haut et en bas.

Limite d'une fonction composée

Une fonction composée est une fonction formée par une fonction qui en contient une autre.
Par exemple, ou .

Nous avons f(x)=u(v(x)) avec u(x)=x³ et .
Et g(x)=a(b(x)) avec a(x)=√x et b(x)=x²+1.

On note et .

Pour calculer la limite d'une fonction composée, on commence par calculer la limite de la fonction qui est à l'intérieur de l'autre (notons L cette limite), puis on calcule la limite quand X tend vers L de la fonction qui englobe l'autre.


Exemples

• Pour , on a et . Donc .
  
  
• Pour , on a et . Donc .
  

Voyons maintenant deux techniques qui permettent de calculer des limites dans certaines situations.

Forme indéterminée de la forme 0÷0

Cette forme indéterminée apparaît par exemple dans le calcul de .

Dans ce cas, on peut utiliser la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.

En effet, comme , on a aussi .

Donc avec .
Donc .

Forme indéterminée avec une racine carrée

Quand il y a une forme indéterminée avec des racines carrées, par exemple pour , on peut essayer de faire apparaître l'expression conjuguée.

L'expression conjuguée d'une somme a+b est la différence a-b.

Cela a pour effet de supprimer les racines carrées qui nous gênent, en utilisant la troisième identité remarquable.

Pour cet exemple, on obtient :

Interprétation graphique des limites : les asymptotes

Une asymptote à une courbe est une droite qui se rapproche de plus en plus de la courbe sans jamais la toucher.

Il existe 3 types d'asymptotes.

	L'asymptote horizontale, lorsque . Son équation est y=a.
L'asymptote verticale, lorsque . Son équation est x=a.
	L'asymptote oblique. Son équation est y=ax+b. On a . La hauteur du trait vert, qui représente la distance entre la courbe et son asymptote, tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.

>>> Les probabilités >>>

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