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Cours de terminale

2 - Limites de fonctions

Dans le cours précédent, nous avons étudié les limites de suites.

Dans ce cours, nous allons étendre la notion de limite aux fonctions.

Cela va nous permettre de décrire le comportement d'une fonction lorsque x tend vers -∞ ou +∞, ou aux alentours de valeurs pour lesquelles la fonction n'est pas définie.




Limite de fonction

Limite finie en l'infini

On dit qu'une fonction admet une limite finie l en +∞ si pour tout nombre ε fixé à l'avance, aussi petit que l'on veut, il existe un x à partir duquel la distance entre f(x) et l (que l'on peut noter |f(x)-l|) est inférieure à ε.

limite fonction en infini


De même, en -∞, limite fonction en mois infini si ∀ε>0 ∃x0 tel que ∀x<x0 |f(x)-l|<ε.


limite fonction en infini



Exemples
limite
limite

On utilise les mêmes règles de calcul que pour les limites de suites.




Limite infinie en l'infini

On dit qu'une fonction a pour limite +∞ en +∞ si pour tout nombre M fixé à l'avance, aussi grand que l'on veut, il existe un x à partir duquel toutes les valeurs de f(x) sont supérieures à M.

Il existe des définitions similaires (limite +∞ ou -∞) pour la limite en -∞.

Exemples


limite fonction en infini


Limite en une abscisse x=a.

Il est aussi possible de parler de limite locale en x=a, avec a un nombre réel.

Si la fonction est continue (ce qui signifie qu'on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon), on a toujours limite fonction continue.

Sinon, on doit introduire la limite à gauche et la limite à droite de la fonction en x=a.
Pour différencier ces deux limites, on place un + ou un - en exposant à côté de a.

limite fonction en un point



As-tu compris ?

A ton avis, combien fait limite?

exemple limite de fonction
-∞ 0 1 +∞



Voyons maintenant comment calculer des limites de fonctions.

Calcul de limite

Pour calculer la limite d'une fonction, il faut repérer les fonctions usuelles (x², 1/x, √x) qui la compose et utiliser leurs limites connues et les opérations sur les limites.

Les règles (somme, différence, produit ou quotient de limites) sont les mêmes que celles du calcul des limites de suites.

Exemples

exemple limite, car c'est la limite d'une somme de fonctions qui tendent vers +∞.

exemple limite. Il y a une forme indéterminée. Il faut factoriser par x.

exemple limite, car c'est la limite d'un produit de fonctions qui tendent vers +∞.

exemple limite, car c'est de la forme 2÷0+ (0 par valeurs positives).

exemple limite. Il y a une forme indéterminée, il faut factoriser par x² en haut et en bas.


Limite d'une fonction composée

Une fonction composée est une fonction formée par une fonction qui en contient une autre.
Par exemple, fonction composée ou fonction composée.

Nous avons f(x)=u(v(x)) avec u(x)=x3 et fonction composée.
Et g(x)=a(b(x)) avec a(x)=√x et b(x)=x²+1.

On note fonction composée et fonction composée.

Pour calculer la limite d'une fonction composée, on commence par calculer la limite de la fonction qui est à l'intérieur de l'autre (notons L cette limite), puis on calcule la limite quand X tend vers L de la fonction qui englobe l'autre.


Exemples



Entrainement

Combien fait calcul limite ?

-∞ 0 1 +∞



Voyons maintenant deux techniques qui permettent de calculer des limites dans certaines situations.



Forme indéterminée de la forme 0÷0

Cette forme indéterminée apparaît par exemple dans le calcul de limite indéterminée 0.

Dans ce cas, on peut utiliser la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.

En effet, comme forme indéterminée et nombre dérivé, on a aussi forme indéterminée et nombre dérivé.

Donc forme indéterminée et nombre dérivé avec fonction racine carrée.
Donc fonction racine carrée.


Forme indéterminée avec une racine carrée

Quand il y a une forme indéterminée avec des racines carrées, par exemple pour limite racines carrée avec conjugué, on peut essayer de faire apparaître l'expression conjuguée.

L'expression conjuguée d'une somme a+b est la différence a-b.

Cela a pour effet de supprimer les racines carrées qui nous gênent, en utilisant la troisième identité remarquable.

Pour cet exemple, on obtient :

limite racines carrée avec conjugué




Interprétation graphique des limites : les asymptotes

Une asymptote à une courbe est une droite qui se rapproche de plus en plus de la courbe sans jamais la toucher.

Il existe 3 types d'asymptotes.

asymptote horizontale L'asymptote horizontale, lorsque equation asymptote horizontale.

Son équation est y=a.
L'asymptote verticale, lorsque équation asymptote verticale.

Son équation est x=a.
asymptote verticale
asymptote oblique L'asymptote oblique.

Son équation est y=ax+b.
On a asymptote oblique.

La hauteur du trait vert, qui représente la distance entre la courbe et son asymptote, tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini.




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