Cours de terminale
5 - Primitives
La primitive d'une fonction f est une fonction F qui a pour dérivée f.
Les primitives servent à calculer des intégrales (chapitre suivant).
Primitive d'une fonction
Une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F' = f.
On parle de la dérivée d'une fonction et d'une primitive d'une fonction, car une fonction admet toujours une infinité de primitives (on peut toujours ajouter des constantes).
Exemples
- Une primitive de est .
-
Une primitive de est .
Calcul de primitive
Le calcul des primitives nécessite une maîtrise parfaite des et un peu d'entraînement.
As-tu compris ?
Propriétés
La primitive d'une somme de fonctions est la somme des primitives de ces fonctions et la primitive du produit d'un nombre par une fonction est le produit de ce nombre par la primitive de cette fonction.
Exemples
- Une primitive de est .
- Une primitive de est .
Primitive d'une fonction puissance
La primitive d'une fonction de la forme
est , où C peut être n'importe quel nombre.
Exemples
- Une primitive de la fonction est .
- Une primitive de la fonction est
.
Entraînement
Maintenant que nous savons calculer la primitive des fonctions polynômes de la forme , voyons le cas des fonctions définies par un quotient.
Primitive d'un quotient
Nous savons que pour toute fonction u positive, la dérivée de ln(u) est u'/u.
Une primitive de u'/u est donc ln(|u|), ou simplement ln(u) si u est positive.
Exemple
Une primitive de la fonction est .
Méthode
Pour calculer la primitive d'une fonction définie par un quotient :
- 1. On cherche à repérer la forme u'/u.
- 2. On transforme l'écriture de la fonction en faisant apparaître la forme u'/u.
- 3. On applique la formule.
Exemple
Calcul de la primitive de la fonction .
- 1. On pose u(x)=x³+3. Comme u'(x)=3x², on cherche à faire apparaître 3x².
- 2.
- 3. .
Entraînement
Remarque : si on ne parvient pas à faire apparaître la forme u'/u, il peut arriver qu'il soit impossible de calculer une primitive !
Primitive avec composée de fonctions
Il est possible de calculer la primitive d'une fonction dans laquelle on reconnaît l'une des formules de dérivée d'une fonction composée.
En inversant ces formules, nous avons :
- Une primitive de est .
- Une primitive de est .
- Une primitive de est .
- Une primitive de est .
-
Une primitive de est
.
La difficulté consiste à reconnaître la présence de l'une de ces formules puis de transformer l'écriture de la fonction pour faire apparaître une fonction u
et sa dérivée u'.
On y arrive toutefois avec un peu d'entraînement.
Exemples
1. Primitive de f(x)=x(x2+3)4
On reconnaît la forme un.
Nous avons besoin de un et u' pour faire apparaître nu'un-1.
Posons u(x)=x²+3. Alors u'(x)=2x.
On modifie l'écriture de f pour faire apparaître 2x : .
Donc .
2. Primitive de f(x)=sin(x)cos(x)
On utilise la même formule.
avec
donc
.
>>> Intégrale d'une fonction >>>
Les primitives
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