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Cours de terminale

5 - Primitives

La primitive d'une fonction f est une fonction F dont la dérivée est f.

Les primitives servent à calculer des intégrales (chapitre suivant).

Primitive d'une fonction

Une primitive d'une fonction f, c'est une fonction F telle que F' = f.

Exemples

On parle de la dérivée d'une fonction mais d'une primitive d'une fonction car une fonction admet toujours une infinité de primitives (on peut toujours ajouter des constantes).

Calcul de primitive

Le calcul des primitives nécessite une maîtrise parfaite des formules de dérivation et un peu d'entraînement.


Question

Laquelle des fonctions ci-dessous est une primitive de la fonction f définie pour tout x par fonction?

fonction fonction fonction fonction




Propriétés

La primitive d'une somme de fonctions est la somme des primitives de ces fonctions et la primitive du produit d'un nombre par une fonction est le produit de ce nombre par la primitive de cette fonction.

Exemples



Primitive d'une fonction puissance

La primitive d'une fonction de la forme fonction est fonction, où C peut être n'importe quel nombre.

Exemples

Entraînement

Ecris sous la forme primitive puissance une primitive de la fonction f définie pour tout x par fonction.

a= b= c= d=



Maintenant que nous savons calculer la primitive des fonctions polynômes de la forme fonction voyons le cas des fonctions définies avec un quotient.


Primitive d'un quotient

Nous savons que pour toute fonction u positive la dérivée de ln(u) est u'/u.
Une primitive de u'/u est donc ln(|u|) ou simplement ln(u) si u est positive.

Exemple
Une primitive de la fonction fonction est fonction.


Méthode

Pour calculer la primitive d'une fonction définie par un quotient:


Exemple

Calcul de la primitive de la fonction fonction.


Entraînement

Ecris sous la forme primitive quotient une primitive de la fonction f définie pour tout x par fonction.
Quelles valeurs trouves-tu pour a et b?

a= b=



Si on ne parvient pas à faire apparaître la forme u'/u, il peut arriver qu'il soit impossible de calculer une primitive!


Primitive avec composée de fonctions

Il est possible de calculer la primitive d'une fonction dans laquelle on reconnait l'une des formules de dérivée d'une fonction composée. En inversant ces formules, nous obtenons:

La difficulté consiste à reconnaître l'une de ces formules en transformant l'écriture de f pour faire apparaître une fonction u et sa dérivée u'.


Exemples

1. Primitive de f(x)=x(x2+3)4.

On reconnait la forme un.
Nous avons besoin de un et u' pour faire apparaitre nu'un-1.
Posons u(x)=x²+3. Alors u'(x)=2x.
On modifie l'écriture de f pour faire apparaître 2x : fonction.
Donc fonction.

2. Primitive de f(x)=sin(x)cos(x).

On utilise la même formule.
fonction avec fonction donc fonction.




>>> Intégrale d'une fonction >>>


Les primitives

cours, exercices


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