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Cours de terminale

9 - Géométrie (Terminale S)

La géométrie analytique est la partie de la géométrie qui s'applique dans un repère avec des coordonnées.

Dans un tel repère, nous avons appris en première à calculer des équations de droites et de cercles.

Nous allons maintenant nous placer dans le cadre plus large de l'espace à 3 dimensions et apprendre à calculer des équations de droites et de plans dans des repères de l'espace.


Équation d'une droite de l'espace


La notion de colinéarité de vecteurs se généralise dans l'espace : deux vecteurs sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que l'un soit égal à k fois l'autre.

Pour déterminer l'équation d'une droite (d) de l'espace de vecteur directeur vecteur directeur et passant par un point A(xA;yA;zA), on écrit que (d) est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que équation math et équation math soient colinéaires.

équation droite

Comme vecteur et vecteur sont colinéaires, il existe un nombre k tel que vecteurs colinéaires.
Donc :

équation math donc équation paramétrique droite

Ce dernier système est appelé équation paramétrique de (d).





Équation d'un plan de l'espace

La notion d'orthogonalité de vecteurs se généralise aussi dans l'espace : deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Il est possible de calculer l'équation d'un plan de l'espace lorsqu'on connaît un point du plan et un vecteur normal à ce plan.

Appelons A le point connu et plan le vecteur normal.

Le plan est l'ensemble des points M(x;y;z) tels que vecteur math et vecteur math sont orthogonaux.
Comme ils sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul.

équation math

Donc si un point M(x;y;z) appartient à un plan P de vecteur normal plan, il existe un nombre d tel que ax+by+cz+d=0.
Cette égalité est l'équation cartésienne de (P).

Inversement, à partir de l'équation cartésienne d'un plan, il est toujours possible de donner les coordonnées d'un vecteur normal : ce sont les coefficients devant x, y et z.




La géométrie en terminale

cours, exercices


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