Cours de niveau bac+1
5 - Les fonctions
Nous allons voir les notions de continuité et d'une fonction, puis quelques propriétés des fonctions continues.
Continuité
Une fonction continue sur un intervalle
I est une fonction dont on peut tracer la représentation graphique sans lever le crayon.
On a:
| Fonction non continue sur [-1;5] car non continue en 2. |
Fonction continue sur [-1,5] car continue partout. |
 |
 |
 mais  |
Ici  |
Théorème des valeurs intermédiaires
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Si une fonction f est continue sur un intervalle  et si y est un nombre de l'intervalle
 , alors l'équation 
admet au moins une solution dans I. Si de plus f est strictement monotone sur I, alors cette solution est unique.Quelle que soit la fonction f et le nombre y, il existe des techniques informatiques qui permettent de donner une valeur approchée des solutions de cette équation. Ce théorème n'est pas valable dans le cas d'une fonction uniformément continue. |
Théorème de Rolle
Si une fonction f est continue sur un intervalle  et vérifie
 , alors il existe un nombre 
tel que  . Cette propriété est évidente sur un dessin quand on a compris la continuité et les dérivées  . |
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Théorème des accroissements finis
Si f est une fonction continue sur un intervalle et dérivable
sur 
,
ce théorème nous permet d'exprimer 
en fonction de 
en utilisant un nombre dérivé
avec
.
Théorème
Pour toute fonction f continue sur un intervalle
et dérivable sur , il existe
tel que:
On a alors 
.
f'(c) est la pente moyenne de f entre a et b.
La formule de Taylor est encore plus puissante. Elle nous permet de donner une approximation aussi précise que l'on veut de f(b) et fonction de f(a) et des dérivées
de f, à condition qu'elles existent.
Formule de Taylor
Soit f une fonction continue sur un intervalle et n+1 fois dérivable sur .
Alors il existe un nombre tel que :
(Rappels: 
est le symbole factorielle et
sont les dérivées successives de f en a.)
Cela nous permet par exemple d'exprimer 
en fonction de 
et des dérivées successives de 
. On obtient par exemple, avec 
:
Remarque: si a=0, la formule est appelée formule de Mc Laurin.