Comprendre les maths

5 - Les fonctions


Nous allons voir les notions de continuité et de continuité uniforme d'une fonction, puis quelques propriétés des fonctions continues.

Continuité

Une fonction continue sur un intervalle I est une fonction dont on peut tracer la représentation graphique sans lever le crayon. On a:

continuité


Fonction non continue sur [-1;5]
car non continue en 2.
Fonction continue sur [-1,5]
car continue partout
.
graphique fonction graphique fonction
limite fonction mais limite fonction Ici limite fonction


Une fonction uniformément continue sur un intervalle I est une fonction dont la pente n'est jamais infinie sur I: on peut toujours exprimer l'accroissement de f(x) en fonction de l'accroissement de x. On a alors:

continuité uniforme


Fonction continue sur [-1;5[
non uniformément continue sur [-1;5[.
Fonction uniformément continue sur [-1,a], a<5
non uniformement continue sur [-1;5[.
graphique fonction graphique fonction


Les fonctions lipschitziennes, caractérisées par l'existence d'un nombre L tel que continuité, sont toujours uniformement continues, car leur croissance est toujours limitée par le nombre L. Pour montrer qu'une fonction est uniformément continue, il suffit généralement de démontrer que cette fonction est lipschitzienne. Les fonctions uniformement continues sont toujours continues.

Théorème des valeurs intermédiaires

théorème des valeurs intermédiares Si une fonction f est continue sur un intervalle intervalle et si y est un nombre de l'intervalle continuité, alors l'équation équation admet au moins une solution dans I. Si de plus f est strictement monotone sur I, alors cette solution est unique.

Quelle que soit la fonction f et le nombre y, il existe des techniques informatiques qui permettent de donner une valeur approchée des solutions de cette équation.

Ce théorème n'est pas valable dans le cas d'une fonction uniformément continue.

Théorème de Rolle

Si une fonction f est continue sur un intervalle intervalle et vérifie égalité, alors il existe un nombre intervalle tel que dérivée.

Cette propriété est évidente sur un dessin quand on a compris la continuité et les dérivées.
théorème de Rolle


Théorème des accroissements finis

Si f est une fonction continue sur un intervalle intervalle et dérivable sur intervalle, ce théorème nous permet d'exprimer image en fonction de image en utilisant un nombre dérivé dérivée avec intervalle.


Théorème

Pour toute fonction f continue sur un intervalle intervalle et dérivable sur intervalle, il existe intervalle tel que:

théorème valeurs intermédiaires



théorème valeurs intermédiaires

On a alors théorème valeurs intermédiaires.
f'(c) est la pente moyenne de f entre a et b.


La formule de Taylor est encore plus puissante. Elle nous permet de donner une approximation aussi précise que l'on veut de f(b) et fonction de f(a) et des dérivées de f, à condition qu'elles existent.


Formule de Taylor

Soit f une fonction continue sur un intervalle intervalle et n+1 fois dérivable sur intervalle. Alors il existe un nombre intervalle tel que :

Formule de Taylor


(Rappels: intervalle est le symbole factorielle et Formule de Taylor sont les dérivées successives de f en a.)

Cela nous permet par exemple d'exprimer racine carrée en fonction de racine carrée et des dérivées successives de racine carrée. On obtient par exemple, avec racine carrée :

utilisation formule de taylor


Remarque: si a=0, la formule est appelée formule de Mc Laurin.




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