Cours de terminale

4 - Les fonctions

Dans ce cours, nous allons introduire deux fonctions qui apparaissent souvent en sciences naturelles et en sciences physiques : la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien.


Nous verrons ensuite des compléments sur les fonctions : la dérivée d'une fonction composée et le théorème des valeurs intermédiaires.

La fonction exponentielle

Le nombre e

Le nombre e est un nombre très présent dans les mathématiques et dans les sciences en général.
Il est environ égal à 2,718281828.

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Obtention du nombre e

Considérons la suite u telle que :





, etc...

On a : (! est la notation factorielle).

Calculons ses premiers termes :

Cette suite est convergente. Le nombre e est sa limite quand n tend vers +∞.

(cacher)

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La fonction exponentielle

Définition
La fonction exponentielle est la fonction qui à tout nombre x associe le nombre e à la puissance x.


Propriétés

• • Comme e>0, on a toujours e^x>0.
• • La fonction exponentielle vérifie les propriétés sur les puissances, en particulier e⁰=1, e^a+b=e^a×e^b et (e^a)ⁿ=e^a×n.
• • La fonction exponentielle est toujours égale à sa fonction dérivée. On peut le vérifier graphiquement en comparant le coefficient directeur de la tangent à sa courbe, pour un x pris au hasard, avec e^x.
• • Comme elle ne prend qu'une fois chaque valeur de , si e^a=e^b, alors a=b (pratique pour résoudre certaines équations).

Représentation graphique

Limites particulières

La fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien (notée ln) est la réciproque de la fonction exponentielle : c'est la fonction telle que pour tout nombre a, ln(e^a)=a et pour tout nombre a>0, e^ln(a)=a.

Son ensemble de définition est , car la fonction exponentielle ne prend jamais de valeurs négatives.

Propriétés

• • ln(1)=0 car e⁰=1.
• • La fonction ln transforme des produits en sommes : (démonstration) et des quotients en différences.
• • La fonction ln transforme des produits en sommes : et des quotients en différences.
  
  

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  Démonstration
  
  La fonction exponentielle transforme des sommes en produits, donc e^ln(a)+ln(b)=e^ln(a)×e^ln(b)=a×b.
  Par définition de la fonction ln, on a aussi e^ln(a×b)=a×b.
  
  Donc e^ln(a)+ln(b)=e^ln(a×b).
  
  Par propriété d'unicité des valeurs prises par la fonction exponentielle, on a finalement ln(a)+ln(b)=ln(a×b).
  
  Il est bien évident que cela marche uniquement si a>0 et b>0 !
  
  

  (cacher)

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• • , car ln(aⁿ)=ln(a×a×...×a)=ln(a)+ln(a)+...+ln(a)=nln(a).
• • La fonction ln a pour dérivée la fonction . On peut le vérifier graphiquement.

Représentation graphique

Limite particulière

Dérivée d'une fonction composée

Formule

La dérivée d'une fonction composée de la forme est .

Exemple

Calcul de la dérivée de .

• 1. On pose et . Alors .
• 2. et .
• 3. .

Conséquence : autres formules utiles

Dérivée de √u

Dérivée de uⁿ

Dérivée de e^u

Dérivée de ln(u)

Théorème des valeurs intermédiaires

Ce théorème permet de démontrer qu'une équation f(x)=a admet une solution dans un intervalle donné.

Fonction continue

On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si pour les valeurs de x parcourant cet intervalle, on peut tracer sa représentation graphique sans lever le crayon.
Cela revient à dire que pour tout nombre a de cet intervalle, .

Théorème des valeurs intermédiaires

Si une fonction f est continue sur un intervalle [a,b], alors pour nombre y de l'intervalle l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle [a,b].

Si de plus la fonction est strictement monotone (strictement croissante ou décroissante) sur [a,b], la solution est unique.

>>> Primitive de fonction >>>

Les fonctions en terminale

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