Cours de niveau bac+1
4 - Les polynômes
Définitions
Un polynôme, c'est une expression littérale de la forme , de la forme
, ou plus généralement de la forme
, ce qui se lit : somme pour les entiers n variant de 0 à N, des
.
Les nombres sont appelés les coefficients du polynôme.
Le plus grand entier n tel que est appelé le degré du polynôme.
On peut associer à chaque polynôme P une fonction , appelée fonction polynôme. Par exemple
la fonction polynôme associée au polynôme
.
Racines
Une racine d'un polynôme P est un nombre r tel que .
Un polynôme de degré 1 possède toujours une racine (voir les équations du premier degré), un polynôme de degré 2
possède 0, 1 ou 2 racines réelles (voir les équations du second degré) et toujours 2 racines complexes
(Si on dit qu'il y a une racine double) (nombres complexes).
Que se passe t-il si le degré du polynôme augmente? Un polynôme de degré n admet-il toujours n racines? Et bien oui. C'est
le théorème de d'Alembert. Un polynôme de degré n admet toujours n racines complexes et au maximum n racines réelles.
Il est possible de calculer les racines d'un polynôme de degré 3 avec la méthode de Cardan (non détaillée sur ce site web) et de degré 4 avec les méthodes de Lagrange et de Descarte.
Mais jusqu'à présent, personne n'a trouvé de méthode de calcul donnant les racines d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 5. Il existe seulement des méthodes informatiques
qui donnent des valeurs approchées des racines avec une très grande précision. Dans certains cas, si on arrive à trouver une
racine évidente du polynôme, on peut tout de même calculer ses autres racines en le factorisant.
Factorisation de polynômes
Si un polynôme P possède n racines, alors il peut se factoriser sous la forme
.
Inversement, si on arrive à factoriser un polynôme P sous cette forme,
alors on sait que sont des racines de P.
Pour déterminer les racines d'un polynôme de degré 3, on peut donc commencer par chercher une racine évidente, puis à chercher une factorisation
de ce polynôme et en déduire les autres racines. Par exemple pour trouver les racines du polynôme
on voit que -1 est une racine évidente, donc P se factorise en .
En développant cette expression on obtient
et comme pour que deux polynômes soient égaux il faut que leurs coefficients soient égaux, on obtient un système:
Donc P se factorise en .
En calculant delta dans le facteur de droite, on peut alors trouver alors les 2 autres racines de P.
Calculs avec des polynômes
L'addition, la soustraction, ou la multiplication de polynômes sont des choses élémentaires que tu sais faire. Etudions ici la division de 2 polynômes.
Par exemple, tentons de diviser par .
On doit obtenir un polynôme, avec éventuellement un reste.
Pour diviser deux polynômes entre eux, on utilise la même technique que pour diviser deux grands nombres:
on les place dans un petit tableau comme ci-dessous:
On se demande: en combien de fois ?
fois. On place le et on effectue la
multiplication puis la soustraction.
On continue : en combien de fois ? x fois.
On pose le x et on continue le tableau :
En combien de fois ? -1 fois. On termine le tableau :
On en déduit finalement que .
Cette factorisation peut ensuite être utile pour déterminer les racines du polynôme.