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Cours de niveau bac+1

4 - Les polynômes


Définitions

Un polynôme, c'est une expression littérale de la forme exemple de polynome, de la forme exemple de polynome, ou plus généralement de la forme polynome, ce qui se lit : somme pour les entiers n variant de 0 à N, des expression.
Les nombres polynome sont appelés les coefficients du polynôme.
Le plus grand entier n tel que exemple de polynome est appelé le degré du polynôme.
On peut associer à chaque polynôme P une fonction polynome, appelée fonction polynôme. Par exemple polynome la fonction polynôme associée au polynôme polynome.

Racines

Une racine d'un polynôme P est un nombre r tel que racine de polynome. Un polynôme de degré 1 possède toujours une racine (voir équations troisième), un polynôme de degré 2 possède 0, 1 ou 2 racines réelles (équations second degré) et toujours 2 racines complexes (Si delta on dit qu'il y a une racine double) (nombres complexes).

Que se passe t-il si le degré du polynôme augmente? Un polynôme de degré n admet-il toujours n racines? Et bien oui. C'est le théorème de d'Alembert. Un polynôme de degré n admet toujours n racines complexes et au maximum n racines réelles.

Il est possible de calculer les racines d'un polynôme de degré 3 avec la méthode de Cardan (non détaillée sur ce site web) et de degré 4 avec les méthodes de Lagrange et de Descarte. Mais jusqu'à présent, personne n'a trouvé de méthode de calcul donnant les racines d'un polynôme de degré supérieur ou égal à 5. Il existe seulement des méthodes informatiques qui donnent des valeurs approchées des racines avec une très grande précision. Dans certains cas, si on arrive à trouver une racine évidente du polynôme, on peut tout de même calculer ses autres racines en le factorisant.

Factorisation de polynômes

Si un polynôme P possède n racines, racines polynome alors il peut se factoriser sous la forme factorisation polynome. Inversement, si on arrive à factoriser un polynôme P sous cette forme, alors on sait que racines polynome sont des racines de P. Pour déterminer les racines d'un polynôme de degré 3, on peut donc commencer par chercher une racine évidente, puis à chercher une factorisation de ce polynôme et en déduire les autres racines. Par exemple pour trouver les racines du polynôme polynome on voit que -1 est une racine évidente, donc P se factorise en polynome . En développant cette expression on obtient calculs avec polynome et comme pour que deux polynômes soient égaux il faut que leurs coefficients soient égaux, on obtient un système:

calculs avec polynome


Donc P se factorise en calculs avec polynome. En calculant delta dans le facteur de droite, on peut alors trouver alors les 2 autres racines de P.

Calculs avec des polynômes

L'addition, la soustraction, ou la multiplication de polynômes sont des choses élémentaires que tu sais faire. Etudions ici la division de 2 polynômes. Par exemple, tentons de diviser polynome par polynome. On doit obtenir un polynôme, avec éventuellement un reste.

Pour diviser deux polynômes entre eux, on utilise la même technique que pour diviser deux grands nombres: on les place dans un petit tableau comme ci-dessous:

division de polynome

On se demande: en polynome combien de fois polynome? polynome fois. On place le polynome et on effectue la multiplication puis la soustraction.

division de polynome

On continue : en polynome combien de fois polynome? x fois. On pose le x et on continue le tableau :

division de polynome

En polynome combien de fois polynome? -1 fois. On termine le tableau :

division de polynome

On en déduit finalement que résultat division de polynome.

Cette factorisation peut ensuite être utile pour déterminer les racines du polynôme.


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