Cours de seconde

5 - Systèmes d'équations

Parfois, dans certains problèmes, il n'y a pas un nombre inconnu, mais plusieurs, et ils peuvent être reliés entre eux par différentes équations.
Pour trouver ces nombres inconnus, on utilise alors un système d'équations : un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations relatives à un même problème.

Dans ce cours, nous allons voir des exemples de systèmes d'équations ainsi que deux méthodes (substitution, combinaisons linéaires) pour les résoudre.

Exemple de système d'équations

est un système d'équations.

Mise en équation d'un problème à deux inconnues

Exemple de problème

Dans une boulangerie, Pimpim a acheté deux croissants et un pain au chocolat. Il a payé 2 euros 10.
Dans la même boulangerie, Orphée a acheté un croissant et trois pains au chocolat. Elle a payé 3 euros 05.
Quel est le prix d'un croissant et d'un pain au chocolat dans cette boulangerie ?

Méthode de résolution

Pour résoudre un problème avec deux inconnues :

• 1. On pose x="la première inconnue" et y="la deuxième inconnue".
  Pour ce problème, on écrit : "J'appelle x le prix d'un croissant et y le prix d'un pain au chocolat" ou : "Soit x le prix d'un croissant et y le prix d'un pain au chocolat".
  
  
• 2. On écrit les équations correspondant au problème : 2x+1y=2,1 et 1x+3y=3,05.
  
  
• 3. On place les équations l'une en dessous de l'autre dans une grande accolade.

  

• 4. On résout le système avec l'une des deux méthodes ci-dessous.

Résolution d'un système d'équations

On peut au choix utiliser la méthode de substitution ou des combinaisons linéaires.

Première méthode (substitution)

Deuxième méthode (combinaisons linéaires)

1. On multiplie les termes de la première équation par le coefficient qui est devant x dans la deuxième équation.
2. On multiplie les termes de la deuxième équation par le coefficient qui est devant x dans la première équation.
3. On soustrait les deux équations.
4. On calcule y.
5. On remplace la valeur de y dans l'une des deux équations d'origine et on calcule x.

Remarque
Si on doit multiplier l'une des deux équations par un nombre négatif alors on peut la multiplier seulement par le nombre positif associé puis additionner les deux équations au lieu de les soustraire.

Conclusion

Un croissant coûte 0,65 euro et un pain au chocolat coûte 0,80 euro.

>>> Inéquations et tableaux de signes >>>

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