Cours de première - Compléments
D - Le barycentre
Le barycentre est un point particulier d'une figure dans laquelle les points sont pondérés par des coefficients.
En sciences physiques, le barycentre permet de calculer le point d'équilibre d'un objet.
En maths, il sert principalement à faire des démonstrations géométriques, en utilisant ses propriétés.
Ce cours n'est plus au programme officiel de la classe de première.
Définition du barycentre
Prenons une plaque triangulaire, posons dessus au point A un poids de 1kg, au point B un poids de 2kg, au point C un poids de 3 kg et cherchons le point où l'on pourra faire tenir cette plaque en équilibre.
Ce point est appelé le barycentre du système 
.
Notons le G. Il est caractérisé par la relation :
.
D'une manière générale, le barycentre G de 
vérifie toujours
.
Attention tout de même, le barycentre n'existe pas lorsque la somme des coefficients associés aux points est nulle.
Par contre, l'éventuelle présence de coefficients négatifs ne gêne pas.
Construction du barycentre
Pour construire le barycentre, il faut utiliser la propriété vectorielle ci-dessus et décomposer deux des trois vecteurs en fonction de vecteurs que l'on peut tracer.
C'est assez simple mais long :
G est donc ici :
Propriété fondamentale du barycentre
Si G est le barycentre du système ,
alors pour tout point M du plan, on a :
Le dessin ci-dessous avec les chiffres du début l'illustre très bien.
Dans la pratique et dans les problèmes, il faut placer M à un endroit particulier pour démontrer des égalités vectorielles.
Coordonnées du barycentre
Si A, B, et C sont 3 points dans un repère orthonormé, avec 
,
et si G est le barycentre de , alors les
formules suivantes donnent les coordonnées de G :
Les formules du barycentre se généralisent dans le cas où il y aurait plus de 3 points. On peut également
prendre le cas particulier plus simple avec seulement 2 points.
Enfin, il faut savoir que le barycentre d'un système de points qui ont tous le même coefficient (le même poids) s'appelle l'isobarycentre.
Il n'y a pas d'exercices avec ce cours.