Cours de première

11 - Les variables aléatoires

Lorsqu'une expérience aléatoire se produit, il y a souvent des conséquences. Par exemple, si on considère la météo qu'il fera demain, c'est une expérience aléatoire dont on peut, pour simplifier, considérer que l'univers associé est {soleil, nuages, pluie, neige}. Si on s'intéresse au nombre de kilomètres que l'on va parcourir en voiture en fonction de la météo, nous avons plus de chances faire beaucoup de kilomètres, pour aller à la mer, s'il y a du soleil, d'en faire un peu moins, pour aller au ski, s'il y a de la neige, ou de rester chez soi et ne rien faire s'il pleut. Le nombre de kilomètres que l'on va parcourir est donc une fonction des résultats de l'expérience aléatoire. C'est ce qu'on appelle une variable aléatoire : une variable aléatoire est une fonction qui s'applique sur les issues d'une expérience aléatoire.

Les calculs que l'on peut faire avec une variable aléatoire aident à prendre de bonnes décisions avant la réalisation de l'expérience, en calculant notamment son espérance et sa variance.
C'est ce que nous allons voir ci-dessous.

Variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction qui s'applique sur les issues d'une expérience aléatoire.

Exemple
La règle d'un jeu est la suivante :
"On lance un dé à 6 faces. Si le nombre obtenu est strictement inférieur à 5, on perd un euro. S'il est égal à 5, on gagne deux euros. Si on obtient 6, on gagne 3 euros".

Le gain à ce jeu est une variable aléatoire, car on associe des nombres aux issues d'une expérience aléatoire.
Appelons G cette variable aléatoire. G peut prendre les valeurs -1, 2, ou 3.

Loi de probabilité

La loi de probabilité d'une variable aléatoire est un tableau à deux lignes.
Sur la première ligne, on écrit les valeurs prises par la variable aléatoire, et sur la deuxième, leurs probabilités.

La probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur x_i se calcule en effectuant la somme des probabilités des issues qui mènent à x_i.
Pour ce jeu, on a :

La loi de probabilité d'une variable aléatoire est utile pour calculer son espérance et son écart-type, deux indicateurs qui vont nous dire si ça vaut le coup de jouer à ce jeu.

Attention
Il ne faut pas confondre la loi de probabilité d'une expérience aléatoire et la loi de probabilité d'une variable aléatoire. Tous deux sont des tableaux à deux lignes. La loi de probabilité d'une expérience aléatoire indique les issues et leurs probabilités tandis que la loi de probabilité d'une variable aléatoire indique les valeurs prises par la variable et leurs probabilités.

Espérance, variance et écart-type

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire G, notée E(G), est un indicateur de ce que l'on peut espérer gagner en jouant une fois à ce jeu.

E(G) se calcule en effectuant la somme des produits des valeurs prises par G par leurs probabilités.

Comme l'espérance est positive, ça vaut le coup de jouer à ce jeu.
Mais bien sûr, on prend un risque. L'écart-type est une mesure de ce risque.

Variance et écart-type

Pour calculer l'écart-type de G, noté , il faut d'abord calculer la variance de G, notée V(G), en effectuant (accrochez-vous bien!) la somme des produits des carrés des différences entre E(G) et les valeurs prises par G, par leurs probabilités.

Il faut ensuite calculer la racine carrée de la variance.

Remarques

1. La formule de la variance peut s'écrire , ce qui se lit : "somme pour les nombres i variant de 1 à n des p_i(x_i-E(X))²".
2. Si on modifie le jeu de la façon suivante : "on perd 2 euros si on fait moins de 5, on gagne deux euros si on fait 5 et on gagne 7 euros si on fait 6", et qu'on note Y le gain, alors l'espérance de Y est égale à celle de X, mais son écart-type est plus grand (3,4 contre 1,7) : on peut espérer gagner autant, mais on risque de perdre ou de gagner plus.

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Sur le web

• Cours de probabilités de troisième. Issues, événements, probabilité d'un événement, probabilités et fréquences.
• Cours de probabilités de seconde. Calculs de probabilités dans le cas de la répétition d'une même expérience aléatoire, union et intersection d'événements.
• Cours de probabilités de première. Répétition d'expériences aléatoires, les probabilités conditionnelles.
• Cours de probabilités de terminale. Probabilités conditionnelles, dénombrement.

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