Cours de terminale

8 - Les nombres complexes

Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire sous la forme a+bi, où a et b sont des nombres réels et i un nombre imaginaire tel que i²=-1.

Les nombres complexes ont été inventés à partir du XVIème siècle pour représenter les solutions d'équations qui ne possédaient pas de solutions dans . Par la suite, ces nombres furent de plus en plus utilisés par les mathématiciens et les physiciens, qui leur trouvèrent beaucoup davantages, jusqu'à devenir incontournables dans les sciences modernes.

Le nombre a s'appelle la partie réelle du nombre complexe et le nombre b la partie imaginaire.

Calcul avec des nombres complexes

Addition et soustraction

Pour additionner ou soustraire deux nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément leurs parties réelles et imaginaires.

Exemple : (2+3i)+(4+5i)=6+8i.

Produit

Pour calculer le produit de deux nombres complexes, on utilise la double distributivité et la propriété i²=-1.

Exemple : (2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i²=-7+22i.

Quotient

Pour calculer le quotient de deux nombres complexes, on multiplie d'abord les deux nombres par le conjugué du deuxième puis on simplifie le résultat. Le conjugué d'un nombre complexe a+bi est le nombre a-bi.

Exemple :

Nombres complexes dans le plan

Comme les nombres complexes ont deux composantes (partie réelle et partie imaginaire) on peut les placer dans un repère en inscrivant la partie réelle sur l'axe des abscisses et la partie imaginaire sur l'axe des ordonnées.

On ne parle plus de coordonnées, mais d'affixe.
Ci-dessus, le point M a pour affixe 3+i.

Module et argument

Le module d'un nombre complexe z représenté par un point M est la distance OM.
Il est noté |z|.
Son argument est l'angle orienté .

Pour un nombre complexe z=a+bi, on a toujours :

Ces formules proviennent du théorème de Pythagore et de la trigonométrie dans le triangle ci-dessous.

Autres écritures d'un nombre complexe
La connaissance du module et de l'argument permet d'écrire un nombre complexe sous sa forme trigonométrique et sous sa forme exponentielle .


Propriétés
Quelques propriétés du module et de l'argument :

Distances et angles

Voyons maintenant deux formules qui permettent de calculer des distances et des angles dans le plan complexe.

1. Distances

2. Angles

Équation du deuxième degré

Nous avons vu en première qu'une équation du deuxième degré admet toujours 0, 1 ou 2 solutions.

Si on considère, dans le cas où delta est négatif, qu'il est possible de calculer la racine de delta en utilisant les nombres complexes, alors une équation du deuxième degré admet deux solutions lorsque delta est négatif.

Ces solutions sont et .

>>> Droites et plans de l'espace >>>

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