Cours de première

4 - Dérivation de fonction

La dérivation de fonction est un ensemble de techniques de calcul qui s'appliquent aux fonctions et qui permettent de connaître leurs variations, minimums et maximums.

Exemple de problème

On souhaite construire une boîte sans couvercle de volume maximal à partir d'un carton rectangulaire de dimensions 20×10 cm.

Pour cela, il faut déterminer pour quelle valeur de x la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) (?) atteint un maximum.
C'est cette valeur que nous devrons utiliser pour dessiner le patron de la boîte.
La dérivation de fonction permet de calculer cette valeur (solution au chapitre suivant).

Nous devons pour cela déterminer pour quelle valeur de x la fonction f(x)=x(20-2x)(10-2x) atteint un maximum.

En effet, le volume d'une telle boîte se calcule en multipliant l'aire de sa base par sa hauteur.
L'aire de la base est égale à la longueur du rectangle central (20-2x) multipliée par sa largeur (10-2x).
La hauteur de la boîte pliée est égale à x.
Donc, en fonction de x, le volume de la boîte est f(x)=x(20-2x)(10-2x) cm³. (cacher)

C'est la valeur pour laquelle f est maximale que nous devrons utiliser pour dessiner le patron de la boîte. La dérivation de fonction permet de calculer cette valeur (solution au chapitre suivant).

Nombre dérivé et dérivation

Comme nous l'avons vu précédemment, le nombre dérivé d'une fonction en un certain x est une mesure de la pente de sa courbe à l'abscisse x.
Si le nombre dérivé est positif, le coefficient directeur de la tangente est positif, donc la courbe monte à cet endroit, et réciproquement.
S'il est négatif, la courbe descend et réciproquement.

Étudier les variations d'une fonction revient donc à étudier le signe de ses nombres dérivés en fonction de x.

Nous allons introduire la fonction dérivée qui à tout nombre x associe le nombre f'(x), et nous allons voir comment on l'obtient à partir de f.
Nous pourrons ensuite étudier le signe de f' pour connaître les variations de f.

Fonction dérivée

La fonction est appelée fonction dérivée de f, ou plus simplement dérivée de f.

Question

Si on prend une fonction au hasard, par exemple la fonction , comment peut-on connaître l'expression de f'(x)?

Réponse

On peut calculer le nombre dérivé de f pour différentes valeurs de x puis chercher un lien entre les résultats obtenus.
Calculons par exemple f'(-2), f'(1) et f'(3).





Donc f'(-2)=-4, f'(1)=2 et f'(3)=6.

On devine que f'(x)=2x.

C'est bien cela, on pourrait le démontrer.

C'est bien cela.

Démonstration
Pour tout nombre x, avec cette fonction, on a :



En faisant tendre h vers zéro on obtient que pour tout x, f'(x)=2x. (cacher)

Conclusion

Il est possible de déterminer l'expression de f'(x) à partir de celle de f(x) en utilisant les connaissances du chapitre précédent, mais c'est long, compliqué et incertain !

Bonne nouvelle

Heureusement, les mathématiciens ont déjà effectué ces lourds calculs pour les autres types de fonctions du genre , , , , ou même .
Ils ont trouvé des formules pour calculer les dérivées de ces fonctions.
Nous n'allons pas faire ces difficiles calculs.

Mauvaise nouvelle

Il va falloir apprendre les formules !

Formules de dérivation

Ces formules seront très utiles pour la suite des cours de première et de terminale.
Il est donc important de bien les apprendre !

Formules

D'une manière générale, pour les fonctions puissance :

Pour les fonctions inverse et racine carrée (démonstrations).

Démonstrations

Pour la fonction inverse
Si f(x)=1÷x alors f(x)=x^-1.
En appliquant la formule de dérivation des puissances de x, on a f'(x)=-1x^-1-1.
Donc f'(x)=-1x^-2=-1÷x².

Pour la fonction racine carrée
Si alors .
Donc .
(cacher).

et

Pour les fonctions trigonométriques, la dérivée de f(x)=sin(x) est f'(x)=cos(x) et la dérivée de f(x)=cos(x) est f'(x)=-sin(x).

Entraînement

Apprends ces formules puis clique sur le bouton ci-dessous !

Remarque

Pour calculer f'(2) avec la fonction f(x)=x² (question du chapitre précédent), il suffit désormais de calculer f'(x) qui fait 2x puis de remplacer x par 2.
On obtient le même résultat : 4.
C'est beaucoup plus simple et rapide !

Pour calculer la dérivée d'une fonction plus complexe dont l'expression contient plusieurs des fonctions ci-dessus, nous devons utiliser les règles de dérivation ci-dessous.

Règles de dérivation

Dérivation d'une somme de fonctions

La dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions.

Exemple
Si f(x)=x⁴+x²+1 alors f'(x)=4x³+2x (la dérivée de 1 est 0, car c'est une fonction constante et pour une fonction constante la tangente est toujours horizontale donc de coefficient directeur nul).

Dérivation d'une différence

La dérivée d'une différence de fonctions est la différence des dérivées de ces fonctions.

Exemple
La dérivée de la fonction définie pour tout x≠0 par est .

Dérivation d'un produit

Si u et v sont deux fonctions, la dérivée de u×v n'est pas u'×v', mais u'v+uv' (démonstration).

Si u et v sont deux fonctions, alors la dérivée de u×v est u'v+uv'.

Démonstration
Posons f(x)=u(x)×v(x).

Pour tout nombre a :

(cacher)

Voyons comment utiliser cette formule.

Méthode
Pour calculer la dérivée d'un produit de fonctions :

• 1. On pose u(x)=... et v(x)=...
• 2. On calcule u'(x) et v'(x).
• 3. On applique la formule.

Exemple
Calcul de la dérivée de la fonction définie pour tout x≥0 par .

• 1. On pose et
  
• 2. On obtient et .
  
• 3.

  

Remarque
Si f et g sont deux fonctions telles que f(x)=k×g(x) alors en appliquant la formule ci-dessus, on obtient f'(x)=0×g(x)+k×g'(x)=k×g'(x). Donc :

On peut donc dire, par exemple, que la dérivée de la fonction f(x)=4x³ est f'(x)=12x².

Dérivation d'un quotient

Si u est une fonction et si v est une fonction qui ne s'annule pas, alors la dérivée de est :

Méthode
Pour calculer la dérivée d'un quotient de fonctions :

• 1. On pose u(x)=... et v(x)=...
  
• 2. On calcule u'(x) et v'(x).
  
• 3. On applique la formule.

Exemple
Calcul de la dérivée de la fonction définie pour tout x par .

• 1. On pose et
• 2. On obtient u'(x)=2x et v'(x)=2x.
• 3.

  

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La dérivation de fonction

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