Cours de niveau bac+1
1 - Ensembles et applications
Ce premier cours de niveau bac+1 introduit du vocabulaire et des notations qui servent beaucoup dans les mathématiques universitaires.
Vocabulaire, language des ensembles
Fini, infini, dénombrable
Considérons un ensemble d'éléments (par exemple l'ensemble des cartes d'un jeu de cartes, l'ensemble des nombres décimaux, l'ensemble des fonctions
dérivables sur [-1,1],...). Cet ensemble peut être fini ou infini, suivant qu'il possède ou non un nombre fini d'éléments.
Un ensemble infini peut lui même être dénombrable ou indénombrable. Un ensemble dénombrable, c'est un ensemble dont les éléments sont distincts les uns
des autres et qu'on peut commencer à les compter.
Exemples : un ensemble fini est toujours dénombrable, est dénombrable,
mais est indénombrable.
Union, intersection, complémentaire
Considérons un ensemble E et créons deux sous-ensembles
A et B en utilisant des éléments de E. Par exemple, si E={1,2,3,4,5,6,7) on peut prendre A={1,5,6} et B={1;2;3;4}.
L'union de A et de B est l'ensemble composé de tous les élèments qui appartiennent soit à A, soit à B. L'intersection de A et B est l'ensemble de
tous les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B. Le complémentaire
de A, noté ou ,
est l'ensemble de tous les éléments de E qui n'appartiennent pas à A.
Les lois de Morgan relient ces différentes notions et permettent de se familiariser avec.
Loi de Morgan 1 : | |
Loi de Morgan 2 : |
Produit et puissance d'ensembles
Le produit de deux ensembles A et B est l'ensemble de tous les couples qui peuvent être formés en utilisant
un élément de A et un élément de B. Par exemple si
et ,
alors . On peut définir de la même manière la puissance d'un ensemble. On a par exemple . |
Recouvrement et partition
Comme son nom l'indique, le recouvrement d'un ensemble E est un ensemble de sous-ensembles de E qui couvrent E : l'union de ces sous-ensembles
est égale à E. Par exemple, si A={1;2;3;4;5;6;7;8;9},
B={1;2;3}, C={1;4;7}, et D={2;5;6;7;8;9}, alors B, C, et D forment un recouvrement de A. Plus généralement une famille
d'éléments de A forme un recouvrement de A si .
Si les sont
distincts entre eux (intersections vides), on dit qu'ils forment une partition de A.
Symboles et notations
Les symboles ci-dessous permettent d'écrire plus vite en mathématiques.
Symbole | Lecture | Exemple |
appartient | ||
n'appartient pas | ||
pour tout | ||
"tq" ou "|" | tel que | Soit a tq a²=1 |
il existe | ||
il existe un unique |
Applications entre ensembles
Une application de A dans B est un processus qui à tout élément de A fait correspondre un élément de B.
Pour écrire une application, on précise son ensemble de départ, son ensemble d'arrivée, et la manière dont elle agit sur les élements.
Ci-dessous, f, g , et h sont des exemples d'applications entre ensembles.
Si l'application de A dans B prend toutes les valeurs de B, on dit qu'elle est surjective. Si chaque valeur de B n'est jamais prise plus d'une fois,
on dit que l'application est injective. Une application à la fois injective et surjective et dite bijective.
Exemples
n'est pas surjective |
est surjective |
n'est pas injective |
est injective |
Un ensemble dénombrable est un ensemble dont on peut trouver une application qui réalise une bijection
entre lui même et l'ensemble des nombres entiers relatifs.
Vocabulaire
- Une application qui va de E dans E s'appelle un endomorphisme.
- Une application qui réalise une bijection d'un ensemble E vers un ensemble F s'appelle un isomorphisme.
- Si il existe un isomorphisme entre un ensemble E et un ensemble F on dit que E et F sont isomorphes.
- Une application bijective de E dans E s'appelle un automorphisme.
- Un homomorphisme d'un ensemble E muni d'une loi de composition interne (une opération de E dans E) vers un ensemble F muni
d'une loi de composition interne est une
application telle que .