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Cours de niveau bac+1

2 - Les structures algébriques




Sur un ensemble on peut faire des calculs en introduisant des lois de composition entre les éléments. Par exemple si ensemble et loi de composition est la multiplication traditionnelle, ensemble avec une loi de composition est un ensemble muni d'une loi de composition. Pour être précis et rigoureux dans leur théories et démonstrations, les mathématiciens ont eu besoin d'inventer les structures ci-dessous.

Groupe

On dit que ensemble avec une loi de composition (un ensemble avec une loi de composition) est un groupe si :

- loi interne (la loi est interne)
- loi associative (la loi est associative)
- Et element neutre (il existe un élément neutre).

Si en plus commutativité (commutativité), on dit que le groupe est commutatif.

Par exemple, groupe et groupe sont des groupes.

Si inclusion ensembles et que groupe est encore un groupe, alors on dit que groupe est un sous groupe de E.

Anneau

On dit que anneau (un ensemble avec deux lois de composition) est un anneau si :
- groupe est un groupe commutatif.
- loi de composition est également une loi associative possèdant un élément neutre.
- Et si de plus distributivité (distributivité).
Par exemple, anneau est un anneau.

Corps

Un corps est un anneau dont tous éléments distincts de e sont inversibles pour la loi *. Par exemple, corps est un corps, mais loi de composition n'en est pas un.


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