Cours de niveau bac+1
2 - Les structures algébriques
Sur un ensemble on peut faire des calculs en introduisant des lois de composition entre les éléments.
Par exemple si 
et
est la multiplication traditionnelle,
est un ensemble muni d'une loi de composition.
Pour être précis et rigoureux dans leur théories et démonstrations, les mathématiciens ont eu besoin d'inventer les structures ci-dessous.
Groupe
On dit que (un ensemble avec une loi de composition) est un groupe si :
- 
(la loi est interne)
- 
(la loi est associative)
- Et 
(il existe un élément neutre).
Si en plus 
(commutativité), on dit que le groupe est commutatif.
Par exemple, 
et 
sont des groupes.
Si 
et que 
est encore un groupe, alors on dit que est un sous groupe de E.
Anneau
On dit que 
(un ensemble avec deux lois de composition) est un anneau si :
- est un groupe commutatif.
- 
est également une loi associative possédant un élément neutre.
- Et si de plus 
(distributivité).
Par exemple, 
est un anneau.
Corps
Un corps est un anneau dont tous éléments distincts de e sont inversibles pour la loi *.
Par exemple, 
est un corps,
mais n'en est pas un.