Cours de terminale

1 - Limites de suites

Dans ce cours, nous allons voir la notion de limite qui permet de décrire le comportement d'une suite numérique lorsque ses indices deviennent très grands.

Limite d'une suite

Considérons les suites définies par les formules

Quand n devient infiniment grand (on dit que n tend vers l'infini), les termes de u se rapprochent de plus en plus du nombre 3 tandis que ceux de v continuent de monter indéfiniment. Une suite peut donc avoir une limite finie ou infinie. On va formaliser cela.

1. Limite finie

Pour qu'une suite u admette comme limite un nombre l, il faut que ses termes se rapprochent de plus en plus de ce nombre l. Mais cela ne suffit pas!
En effet, par exemple, les termes de la suite u_n=3-1/n se rapprochent de plus en plus de n'importe quel nombre plus grand que 3, par exemple 4, mais 4 n'est pas sa limite pour autant.

Pour que la limite soit 3, il faut que pour tout nombre ε (epsilon) fixé aussi petit que l'on veut, la suite contienne, à partir d'un certain rang, une infinité de termes dans l'intervalle ]3-ε;3+ε[.

On dit donc qu'une suite u admet une limite finie l si ∀ε>0 ∃n₀ tel que ∀n>n₀ |u_n-l|<ε (lecture).

On dit donc qu'une suite u admet une limite finie l si ∀ε>0 ∃n₀ tel que ∀n>n₀ |u_n-l|<ε.

Lecture :
Pour tout epsilon positif, il existe un rang n₀ tel que pour tout n supérieur à n₀, la valeur absolue de u_n-l est inférieure à epsilon.
La valeur absolue de u_n-l est la distance entre u_n et l (cacher).

Si une suite admet une limite finie, on dit qu'elle est convergente.

2. Limite infinie

On dit qu'une suite admet une limite infinie (+∞ ou -∞) si pour tout nombre fixé à l'avance, il existe un rang à partir duquel tous ses termes sont supérieurs (dans le cas de +∞) ou inférieurs (dans le cas de -∞) à ce nombre.

La limite est +∞ si ∀M>0, ∃n₀ tel que ∀n>n₀, u_n>M.
La limite est -∞ si ∀M<0, ∃n₀ tel que ∀n>n₀, u_n<M.

3. Absence de limite

Une suite n'admet pas forcément une limite finie ou infinie.
Certaines suites n'ont pas de limite! C'est le cas par exemple des suites définies par les formules u_n=(-1)ⁿ et v_n=cos(n).

Propriétés

1. Si, à partir d'un certain rang, les termes d'une suite u sont toujours supérieurs à ceux d'une suite v et si la limite de v est +∞ alors la limite de u est aussi +∞.

2. Toute suite croissante et majorée est convergente (démonstration).

2. Toute suite croissante et majorée est convergente

Démonstration :
(cacher).

suite géométrique

Calcul de limite

1. Limite d'une somme ou d'une différence

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u+v tend vers l+l'.

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers l'infini (+∞ ou -∞) alors la suite w=u+v tend vers cet infini.

Si deux suites u et v tendent vers +∞ alors la suite w=u+v tend aussi vers +∞ (idem pour -∞).

Si une suite u tend vers +∞ et si une suite v tend vers -∞ alors on ne peut rien dire de la limite de la somme de ces deux suites! On dit que c'est une forme indéterminée. Nous verrons plus loin comment calculer la limite dans ce cas.

Nous avons les mêmes résultats pour la limite d'une différence, mais attention, si deux suites tendent vers le même infini, nous ne pouvons rien dire de la limite de leur différence, c'est également une forme indéterminée.

2. Limite d'un produit

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v tend vers un nombre l' alors la suite w=u×v tend vers l×l'.

Si une suite u tend vers un nombre non nul et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u×v tend vers l'infini (le signe du résultat suit la règles des signes pour un produit).

Si deux suites u et v tendent vers l'infini alors la suite w=u×v tend aussi vers l'infini (+∞ ou -∞).

Si une suite u tend vers 0 et qu'une suite v tend vers l'infini, alors on ne peut pas conclure directement sur la limite du produit, c'est encore une forme indéterminée.

3. Limite d'un quotient

Si une suite u tend vers un nombre l et si une suite v (dont les termes ne sont jamais nuls) tend vers un nombre l' non nul alors la suite w=u÷v tend vers l÷l'.

Si une suite u tend vers un nombre et si une suite v tend vers l'infini alors la suite w=u÷v tend vers 0.

Si une suite u tend vers un nombre non nul et qu'une suite v tend vers 0 alors la suite u÷v tend vers l'infini. Pour connaître le signe de cet infini on regarde si la suite tend vers 0 par valeurs positives (on écrit 0⁺) ou par valeurs négatives (on écrit 0^-) et on utilise les règles des signes pour un quotient.

Si deux suites u et v tendent toutes les deux vers l'infini ou tendent toutes les deux vers 0 alors on ne peut pas conclure directement pour la limite de u÷v : ce sont de nouvelles formes indéterminées.

Formes indéterminées

Voyons maintenant comment on calcule la limite d'une suite quand il y a une forme indéterminée.

1. Forme -∞+∞ ou +∞-∞

Exemple : .

Il y a une forme indéterminée de type +∞-∞, car et .

Méthode

Quand il y a une forme indéterminée du type +∞-∞ ou -∞+∞ :

• 1. On factorise l'expression par son terme de plus haut degré.
• 2. On utilise les règles de calcul sur la limite d'un produit.

Exemple

Par produit de +∞ et de 1 on obtient .

2. Forme ∞×0

Dans ce cas, on peut essayer de multiplier les deux suites entre elles pour se ramener à un quotient.

Exemple

3. Forme ∞÷∞

En général, cela se produit en présence d'un quotient de deux polynômes.
Dans ce cas, on factorise le haut et le bas par le terme de plus haut degré du polynôme le plus petit.

Exemples
- Pour on factorise par n³.
- Pour on factorise par n⁴.
- Pour on factorise par n².

Ensuite, on utilise les règles sur les limites d'une somme et d'un quotient.


Exemple de calcul

>>> Limites de fonctions >>>

Les limites de suites

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