Cours de seconde

6 - Inéquations et tableaux de signes

En troisième, nous avons vu comment résoudre une inéquation du premier degré. Nous allons maintenant voir comment résoudre certaines inéquations du deuxième degré en utilisant des tableaux de signes tableau de signes .

Résolution d'une inéquation du deuxième degré

Une inéquation du deuxième degré est une inéquation dont la forme développée contient des termes en x², des termes en x et des nombres.

Méthode

Pour résoudre une inéquation du deuxième degré :

1. On passe les termes à gauche du = afin d'avoir 0 à droite.
2. On factorise factoriser l'expression de gauche.
3. On fait un tableau de signes.
4. On lit les solutions sur la dernière ligne du tableau.

Nous allons apprendre à construire un tableau de signes en partant de l'exemple d'une expression déjà factorisée.

Tableau de signes

Résolution de l'inéquation (2x-2)(4x+16)>0.

Méthode

1. On étudie le signe de 2x-2 en fonction de x et celui de 4x+16 en fonction de x.
Pour cela, on cherche les valeurs de x pour lesquelles ces expressions sont positives.

Donc 2x-2>0 lorsque x>1 et 4x+16>0 lorsque x>-4.
Rappel : < se lit "plus petit que" et > se lit "plus grand que".
Remarque : on pourrait aussi chercher les valeurs de x pour lesquelles ces expressions sont négatives.
2. On dessine un tableau comme ci-dessous en faisant apparaître les valeurs pour lesquelles les expressions 2x-2 et 4x+16 sont égales à zéro (-4 et 1).
3. On complète les premières lignes en inscrivant des "-" si l'expression est négative pour les valeurs de x qui figurent au-dessus, des "+" le cas échéant, et un zéro sur la barre verticale correspondant à la valeur qui annule l'expression. Nous avons besoin des résultats de l'étape 1.
4. On remplit la dernière ligne en effectuant sur chaque colonne le produit des signes des deux expressions en respectant les règles des signes pour un produit.
5. On lit les solutions en regardant la première et la dernière ligne du tableau.

On cherchait les solutions de (2x-2)(4x+16)>0.

(2x-2)(4x+16)>0 (+) lorsque x est strictement plus petit que -4 et lorsque x est strictement plus grand que 1.

Les solutions sont donc :

(Autre méthode)

As-tu compris ?

Le cas des quotients

Les tableaux de signes permettent aussi de résoudre des inéquations dans lesquelles apparaissent un quotient, par exemple .

On utilise la même méthode que pour les produits, mais à l'étape 4, on place une double barre sur la dernière ligne pour les valeurs de x pour lesquelles il y a une division par zéro. Comme une division par zéro est impossible, il faudra retirer ces valeurs de l'ensemble des solutions.

Exemple

tableau de signes avec quotient

Et avec encore plus de lignes !

Dernier exemple avec la résolution de l'inéquation
On utilise toujours la même méthode.

inéquations

tableau de signes

>>> Les vecteurs >>>

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