Cours de première - Compléments

C - Le PGCD

Le PGCD de deux nombres est le Plus Grand Commun Diviseur de ces deux nombres.

Le PGCD sert à simplifier des fractions et à résoudre certains problèmes.

PGCD

Diviseur

Un diviseur d'un nombre entier est un nombre entier tel que le résultat de la division de ces deux nombres soit encore un nombre entier.

Exemples

• • 5 est un diviseur de 15 car 15÷5 est un nombre entier.
• • 4 n'est pas un diviseur de 11 car 11÷4 n'est pas un nombre entier.

As-tu compris ?

PGCD

Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres.
Pour le trouver, on peut écrire la liste des diviseurs du premier nombre, la liste des diviseurs du deuxième, et chercher le plus grand nombre commun aux deux listes.

Exemple
Pour trouver le PGCD de 18 et de 30, on écrit la liste des diviseurs de 18 (1, 2, 3, 6, 9, 18) et la liste des diviseurs de 30 (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30).
Le plus grand nombre commun à ces deux listes est 6 donc le PGCD de 18 et 30 est 6.

Entraînement

Calcul du PGCD

Lorsque les nombres sont très grands, il devient long et difficile d'établir la liste de tous les diviseurs des deux nombres et de comparer ces listes.
On utilise alors une méthode appelée "méthode d'Euclide", du nom du mathématicien de la Grèce antique qui a découvert cette méthode aux alentours de 300 avant Jésus-Christ.

La méthode d'Euclide

• 1. On exprime le plus grand des deux nombres avec un multiple du plus petit et un reste.
• 2. On exprime le plus petit en fonction du reste trouvé et d'un nouveau reste.
• 3. On continue ce procédé jusqu'à arriver à un reste nul.
• 4. Le dernier reste non nul est le PGCD des deux nombres de départ.

Exemple

Calcul du PGCD de 556 et 148 :

Le PGCD de 556 et 148 est 4.

Pour s'entraîner

Utilisation du PGCD pour simplifier des fractions

Le PGCD permet de simplifier des fractions.

Pour rendre une fraction irréductible, on divise son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Exemple
Pour rendre irréductible la fraction , on calcule d'abord le PGCD de 312 et 845.

On divise donc le numérateur et le dénominateur par 13, ce qui donne .
est une fraction irréductible.

Utilisation du PGCD dans des problèmes

Le PGCD permet aussi de résoudre des problèmes divers. Par exemple, un vendeur reçoit 90 lampes et 135 ampoules. Il souhaite constituer des lots contenant un même nombre de lampes et d'ampoules sans avoir de reste. Combien de lampes et d'ampoules devra contenir chaque lot? Le nombre de lots doit être un diviseur du nombre de lampes et du nombre d'ampoules et il doit être le plus grand possible afin qu'il y ait le minimum de lampes et d'ampoules dans chaque lot. Comme le PGCD de 90 et de 135 est 45, il doit créer 45 lots composés chacun de 2 lampes et 3 ampoules.

>>> Cours sur le barycentre >>>

Le PGCD sur cmath.fr

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Sur le web

- Sur siteexomath.free.fr, un outil pour s'entraîner avec la méthode d'Euclide.

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