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Cours de troisième

5 - Inéquations

Une inéquation est une équationéquation avec un symbole <, ≤, > ou ≥ à la place du =.

Par exemple, 2x-8<10 est une inéquation : il faut trouver tous les nombres x pour lesquels 2x-8 est plus petit que 10 (c'est un peu comme 2×?-8<10). 1 et 7 sont des exemples de solutions, mais il y en a beaucoup d'autres.

As-tu compris ?

Écris une solution de l'inéquation 2x-4<-6.

x=

Pour pouvoir écrire l'ensemble des solutions d'une inéquation, nous devons commencer par apprendre à écrire des ensembles de nombres. Nous verrons ensuite comment on résout une inéquation.

Les ensembles de nombres

Symboles mathématiques

Nous utiliserons désormais les notations suivantes :
∈ se lit "appartient".
∉ se lit "n'appartient pas".
∞ représente l'infini, c'est-à-dire le vague "nombre" qui serait plus grand que tous les autres.

Ensembles et intervalles

On utilise des accolades { } pour représenter un ensemble formé par quelques valeurs distinctes, et des crochets [ ] pour représenter l'ensemble des nombres compris entre deux valeurs extrêmes.

Par exemple, {1;3;5} est l'ensemble formé par les nombres 1, 3, et 5. 3∈{1;3;5} mais 4∉{1;3;5}.

[1;2] est l'ensemble de tous les nombres compris entre 1 et 2, 1 et 2 inclus. 1,9∈[1;2], 2∈[1;2], mais 2,1 ∉[1;2].

]1;2[ est l'ensemble de tous les nombres compris entre 1 et 2, 1 et 2 exclus. 1,5∈]1;2[ mais 2∉]1;2[.


[1;2] et ]1;2[ sont appelés des intervalles.

Comprends-tu ?

oui non


Exemples

intervalles


As-tu compris ?

Écris avec un intervalle l'ensemble des nombres compris entre 4 et 9.



Résoudre une inéquation

Méthode

Une inéquation se résout comme une équationéquation, mais à la dernière étape, si le nombre devant x est négatif (et que l'on doit donc diviser par un nombre négatif) il faut changer le sens de l'inégalité : < devient >, et > devient <.

En effet, on a par exemple 20 qui est plus petit que 30, donc 20<30, mais si on divise 20 et 30 par le nombre négatif -10, on obtient -2 et -3, et -2>-3. On observe un changement dans le sens de l'inégalité.

Exemple

Résolution de l'inéquation inéquation.

résolution inéquation


On écrit l'ensemble des solutions.

inéquation


Remarques

- L'infini est toujours exclu des ensembles de nombres, car ce n'est pas un nombre (le crochet est toujours tourné vers l'extérieur).
- Si l'inéquation avait été inéquation, les solutions auraient été résolution inéquation.



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