Cours de troisième
5 - Inéquations
Une inéquation est une équation
avec un symbole <, ≤, > ou ≥ à la place du =.
Par exemple, 2x-8<10 est une inéquation : il faut trouver tous les nombres x pour lesquels 2x-8 est plus petit que 10 (c'est un peu comme 2×?-8<10).
1 et 7 sont des exemples de solutions, mais il y en a beaucoup d'autres.
As-tu compris ?
Pour pouvoir écrire l'ensemble des solutions d'une inéquation, nous devons commencer par apprendre à écrire des ensembles de nombres. Nous verrons ensuite comment on résout une inéquation.
Les ensembles de nombres
Symboles mathématiques
Nous utiliserons désormais les notations suivantes :
∈ se lit "appartient".
∉ se lit "n'appartient pas".
∞ représente l'infini, c'est-à-dire le vague "nombre" qui serait plus grand que tous les autres.
Ensembles et intervalles
On utilise des accolades { } pour représenter un ensemble formé par quelques valeurs distinctes, et des crochets [ ] pour représenter l'ensemble des
nombres compris entre deux valeurs extrêmes.
Par exemple, {1;3;5} est l'ensemble formé par les nombres 1, 3, et 5. 3∈{1;3;5} mais 4∉{1;3;5}.
[1;2] est l'ensemble de tous les nombres compris entre 1 et 2, 1 et 2 inclus. 1,9∈[1;2], 2∈[1;2], mais 2,1 ∉[1;2].
]1;2[ est l'ensemble de tous les nombres compris entre 1 et 2, 1 et 2 exclus. 1,5∈]1;2[ mais 2∉]1;2[.
[1;2] et ]1;2[ sont appelés des intervalles.
Comprends-tu ?
Exemples
As-tu compris ?
Résoudre une inéquation
Méthode
Une inéquation se résout comme une équation, mais à la dernière étape, si le nombre devant x est négatif (et que l'on doit donc diviser par un nombre négatif) il faut changer le sens de l'inégalité :
< devient >, et > devient <.
En effet, on a par exemple 20 qui est plus petit que 30, donc 20<30, mais si on divise 20 et 30 par le nombre négatif -10, on obtient -2 et -3, et -2>-3. On observe un changement dans le sens de l'inégalité.
Exemple
Résolution de l'inéquation 
.
On écrit l'ensemble des solutions.
Remarques
- L'infini est toujours exclu des ensembles de nombres, car ce n'est pas un nombre (le crochet est toujours tourné vers l'extérieur).
- Si l'inéquation avait été 
, les solutions auraient été
.
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