Comprendre les maths

Cours de seconde

9 - Trigonométrie

La trigonométrie est la partie des mathématiques qui s'intéresse à la relation entre les longueurs des côtés des triangles rectangles et les mesures de leurs angles.

Nous avons vu précédemment comment calculer des longueurs de côtés ou d'angles dans un triangle rectangle en utilisant le cosinus, le sinus et la tangente. Nous allons maintenant nous intéresser à la façon dont les fonctions cosinus, sinus et tangente agissent.



Le cercle trigonométrique

Considérons un triangle rectangle placé comme ci-dessous dans un cercle de rayon 1 dont le centre est à l'origine d'un repère orthonormé.


cercle trigonometrique

Un tel cercle s'appelle un cercle trigonométrique.

Petite question
Si on connaît la mesure de l'angle x, comment peut-on calculer la longueur OC?

Aide
OB=1, théorème de Pythagore...

Réponse
On ne peux pas calculer OC, c'est impossible.

Alors pourquoi cette stupide question?
Car nous remarquons qu'à chaque valeur de x correspond une longueur OC.
Il existe donc une fonction qui à tout angle x associe l'abscisse du point C.
Cette fonction est appelée la fonction cosinus.


Lien avec la formule de quatrième
Avec la fonction cosinus si C est à droite de O alors le cosinus de x est la longueur OC.
On peut donc écrire cosinus et comme 1=OB on a cosinus.
Avec le théorème de Thalès cette formule reste vraie lorsque OB est différent de 1 (en faisant un agrandissement ou une réduction du triangle).
Donc le cosinus de x est toujours égal à la longueur du côté adjacent divisée par celle de l'hypoténuse.


Et le sinus dans tout cela?
Le sinus de x est l'ordonnée du point B.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle OCB rectangle en C on a la formule:

relation trigonometrique


Et la tangente?
La tangente d'un angle est le quotient de son sinus par son cosinus (démonstration).
On peut calculer la tangente d'un angle seulement si le cosinus de cet angle n'est pas nul.

formule tangente



As-tu compris?

Donne une valeur approchée à 0,1 près de sin(x).

cercle trigonométrique



Valeurs remarquables

Les valeurs ci-dessous sont à connaître et seront utiles pour la suite.
Tu peux t'aider du dessin pour les mémoriser.

Angle x 30° 45° 60° 90°
Cos(x) 1 cosinus angle cosinus angle cosinus angle 0
Sin(x) 0 sinus de angle sinus de angle sinus de angle 1

cercle trigonometrique




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