Cours de première
7 - Le produit scalaire
Nous avons vu comment additionner ou soustraire des vecteurs, mais nous n'avons pas encore vu comment les multiplier. C'est l'objet de ce cours.
Le produit scalaire est le produit
de deux vecteurs
entre eux.
Le produit scalaire permet de calculer des équations de droites, de plans, de définir l'orthogonalité de vecteurs et de faire des démonstrations et des calculs divers en géométrie.
Il est également utile en sciences physiques.
Produit scalaire de deux vecteurs
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre proportionnel
à la longueur de chaque vecteur et dépendant de l'angle qu'ils forment.
L'opérateur du produit scalaire se note avec un point au lieu du ×.
Produit scalaire sur un dessin
Dans un plan
muni d'un repère orthonormé
, prenons deux vecteurs partant d'un même point d'origine et formant un angle inférieur à 90 degrés.
Leur produit scalaire est le produit de la longueur du premier par la longueur du projeté orthogonal
du deuxième sur la droite qui porte le premier.
Si l'angle est compris 90° et 180°, c'est le nombre opposé.
As-tu compris ?
Calculs avec le produit scalaire
On calcule avec le produit scalaire comme on calcule avec un produit normal.
Exemples
Il est possible de vérifier ces propriétés en les testant sur un dessin.
Le fait que le produit scalaire possède les mêmes propriétés que la multiplication traditionnelle justifie le fait de l'avoir défini de cette manière.
Orthogonalité et norme
Orthogonalité
Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux.
Pour que deux vecteurs non nuls aient un produit scalaire nul, il faut que leurs droites d'application soient perpendiculaires (ainsi, le projeté orthogonal
du deuxième sur le premier est un point, de longueur nulle).
Norme
La norme d'un vecteur est une mesure de sa longueur relativement au repère dans lequel il est placé.
On note la norme avec des doubles barres verticales.
Exemple
Un vecteur peut très bien avoir une norme différente de sa longueur en centimètres !
Dans un repère orthonormé, si 
, alors
(théorème de Pythagore
).
Calcul du produit scalaire
1. Avec la norme des vecteurs et l'angle qu'ils forment
On utilise la formule du cosinus
.
Si 0<x<90° |
Si 90°<x<180° |
On obtient la même formule dans les deux cas.
En notant 
la mesure de
l'angle orienté
entre ces deux vecteurs, on a aussi :
Et pour tous vecteurs 
et 
:
2. Avec les coordonnées des vecteurs
Dans un repère orthonormé, si 
et
alors on peut écrire
et
.
Donc:
On a donc la formule 
.
Petite question
Entraînement
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