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Cours de terminale

6 - Intégrales

Les intégrales ont été inventées pour calculer les aires de figures non usuelles.

En effet, l'intégrale d'une fonction positive f entre un nombre a et un nombre b est l'aire de la partie du plan délimitée horizontalement par les droites verticales d'équations x=a et x=b et verticalement par l'axe des abscisses et la courbe de f.

Si nous parvenons à calculer des intégrales de fonctions, nous pourrons donc calculer des aires exactes de figures délimitées par des courbes.


Exemple

Le calcul de l'aire de ce champ fera intervenir une intégrale.

aire math



Aspect théorique et notations

À l'aide de relevés de positions sur le terrain et de techniques de calcul hors programme terminale (méthodes de Lagrange et de Newton), il est possible de trouver une fonction dont la représentation graphique suit le cours de la rivière, après avoir placé le tout dans un repère.

aire math



On peut approcher l'aire sous la courbe en calculant la somme des aires de rectangles placés en dessous.

intégration math théorie

Plus il y a de rectangles, de petite largeur, plus l'approximation est bonne.

intégration math théorie

En notant dx une longueur infiniment petite sur l'axe des abscisses, l'aire sous la courbe est la somme des aires d'une infinité de rectangles de longueurs dx et de hauteurs f(x) à chaque fois, pour x variant de 0 à 4.

On note cette somme intégration aire, ce qui se lit : "intégrale de f entre 0 et 4".




As-tu compris ?

La courbe bleue ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f.

courbe fonction

Donne un arrondi à 1 près de intégrale.



Voyons maintenant comment on calcule une intégrale.

Calcul d'une intégrale

En notant F une primitive de f, on a :

formule calcul integrale


Exemple

intégration math calcul

Comme 32÷3≈10,67, l'intégrale de f entre 0 et 4 fait environ 10,67.
Si une unité du graphique correspond à 10 mètres sur le terrain, alors une unité d'aire vaut 100 m² et l'aire réelle du champ mesure environ 1067 m².




As-tu compris ?

Combien fait intégrale ?



Autre technique : l'intégration par parties

Si on ne parvient pas à trouver une primitive de f, on peut tenter une intégration par parties.

On utilise la formule suivante :

formule intégration par parties

(démonstration)

Exemple
Calcul de calcul primitive.

intégrale math



Nous voyons ici qu'une intégrale peut être négative alors qu'une aire est toujours positive.
Cela se produit si la courbe est d'avantage en dessous de l'axe des abscisses qu'au dessus.
En effet, l'intégrale d'une fonction négative est négative et il faut donc faire une petite manipulation pour le calcul des aires.


Intégrale d'une fonction négative

lien aire intégrale

Si on veut calculer l'aire S de la surface bleue ci-dessus, il faut calculer :

lien aire intégrale




>>> Suites et récurrence >>>


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