Cours de terminale
6 - Intégrales
Les intégrales ont été inventées pour calculer les aires de figures non usuelles.
En effet, l'intégrale d'une fonction positive f entre un nombre a et un nombre b est l'aire de la partie du plan délimitée horizontalement
par les droites verticales d'équations x=a et x=b et verticalement par l'axe des abscisses et la courbe de f.
Si nous parvenons à calculer des intégrales de fonctions, nous pourrons donc calculer des aires exactes de figures délimitées par des courbes.
Exemple
Le calcul de l'aire de ce champ fera intervenir une intégrale.
Aspect théorique et notations
À l'aide de relevés de positions sur le terrain et de techniques de calcul hors programme terminale
(méthodes de et de ),
il est possible de trouver une fonction dont la représentation graphique suit le cours de la rivière, après avoir placé le tout dans un repère
.
On peut approcher l'aire sous la courbe en calculant la somme des aires de rectangles placés en dessous.
Plus il y a de rectangles, de petite largeur, plus l'approximation est bonne.
En notant dx une longueur infiniment petite sur l'axe des abscisses, l'aire sous la courbe est la somme des aires d'une infinité de rectangles de longueurs dx et de hauteurs f(x) à chaque fois, pour x variant de 0 à 4.
On note cette somme 
,
ce qui se lit : "intégrale de f entre 0 et 4".
As-tu compris ?
Voyons maintenant comment on calcule une intégrale.
Calcul d'une intégrale
En notant F une primitive
de f, on a :
Exemple
Comme 32÷3≈10,67, l'intégrale de f entre 0 et 4 fait environ 10,67.
Si une unité du graphique correspond à 10 mètres sur le terrain, alors une unité d'aire vaut 100 m² et l'aire réelle du champ mesure environ 1067 m².
As-tu compris ?
Autre technique : l'intégration par parties
Si on ne parvient pas à trouver une primitive de f, on peut tenter une intégration par parties.
On utilise la formule suivante :
.
Exemple
Calcul de 
.
- 1. On pose u'(x)=cos(x) et v(x)=x.
- 2. u(x)=sin(x) et v'(x)=1.
- 3. Donc :
Nous voyons ici qu'une intégrale peut être négative alors qu'une aire est toujours positive.
Cela se produit si la courbe est davantage en dessous de l'axe des abscisses qu'au dessus.
En effet, l'intégrale d'une fonction négative est négative et il faut donc faire une petite manipulation pour le calcul des aires.
Intégrale d'une fonction négative
Si on veut calculer l'aire S de la surface bleue ci-dessus, il faut calculer :
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