Cours de première

6 - Les fonctions exponentielle, sinus et cosinus

Dans ce cours, nous allons voir 3 fonctions qui apparaissent souvent dans l'étude des phénomènes naturels : les fonctions exponentielle, sinus et cosinus.
Commençons par la fonction exponentielle.

La fonction exponentielle

Le nombre e

Le nombre e est un nombre très présent dans les mathématiques et dans les sciences en général.
Il est environ égal à 2,718281828 ().

La fonction exponentielle

Définition
La fonction exponentielle est la fonction qui à tout nombre x associe le nombre e à la puissance x.

Propriétés

• Comme e>0, on a toujours e^x>0.
• La fonction exponentielle vérifie les propriétés sur les puissances, en particulier e⁰=1, e^a+b=e^a×e^b et (e^a)ⁿ=e^a×n.
• La fonction exponentielle est toujours égale à sa fonction dérivée : si f(x)=e^x, alors f'(x)=e^x.
On peut le vérifier graphiquement en comparant le coefficient directeur de la tangente à sa courbe, pour un x pris au hasard, avec e^x.
• Comme elle ne prend qu'une fois chaque valeur de , si e^a=e^b, alors a=b (pratique pour résoudre certaines équations).

Représentation graphique

fonction exponentielle

Les fonctions trigonométriques

En seconde, nous avons vu comment agissent les fonctions sinus sinus et cosinus cosinus et comment obtenir les valeurs de ces fonctions en utilisant un cercle trigonométrique.

Nous allons maintenant voir des nouvelles propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Mais avant tout, introduisons une nouvelle unité de mesure d'angle, le radian, et définissons un sens pour mesurer les angles.

Les angles orientés

Jusqu'à présent, les mesures des angles étaient toujours des nombres positifs : on pouvait mesurer un angle dans n'importe quel sens en obtenant toujours la même mesure. Avec les angles orientés, ce n'est plus le cas : les angles se mesurent dans un certain sens et peuvent être négatifs.

Un angle orienté est un angle formé par un point d'origine et deux vecteurs vecteur partant de ce point, mesuré en radians en allant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique.

Angle géométrique

Angles orientés

Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian

Le radian est une unité de mesure d'angle.
Prenons un cercle de rayon 1 et plaçons sur son contour un bout de ficelle de longueur 1.
Un radian est la mesure de l'angle formé par le centre du cercle et les 2 extrémités de la ficelle.

angle angle

Un angle qui mesure x radians est obtenu avec un morceau de ficelle de longueur x.

Par conséquent, si nous réalisons un tour complet du cercle (360 degrés), la formule du périmètre du cercle périmètre cercle donne , donc . Donc .

Autres exemples

cercle trigonométrique

As-tu compris ?

Remarque : Il n'est pas possible de faire des conversions dans le sens degré→radian, car une mesure en degrés ne précise pas de sens !

La mesure principale

Les nombres x, , , ,... sont les mesures d'un même angle orienté, car sur le cercle trigonométrique, le point M se situe toujours au même endroit.
Avec les deux extrémités d'un morceau de ficelle de longueur , on forme le même angle qu'avec un morceau de ficelle de longueur x.

Un angle orienté possède donc toujours une infinité de mesures.
La mesure principale d'un angle orienté est sa mesure x telle que .

On obtient la mesure principale d'un angle orienté en ajoutant ou en enlevant autant de fois que nécessaire.

Exemples

1. La mesure principale de est (on enlève une fois soit une fois ).
2. La mesure principale de est (pour la trouver, on cherche à ajouter des multiples de , soit de ).

Une méthode pour calculer la mesure principale

Exemple avec .

angle

La mesure principale est , ce qui fait .

As-tu compris ?

Relations trigonométriques

Voyons maintenant quelques propriétés des fonctions sinus et cosinus.
Il est inutile de les apprendre, car on peut les retrouver sur un dessin !

Pour tout nombre x, on a :

angle

angle

angle

Représentation graphique des fonctions sinus et cosinus

Voyons maintenant la représentation graphique des fonctions sinus et cosinus.
Ce sont des courbes sinusoïdales identiques, mais un peu décalées.

angle

Définitions et autres propriétés des fonctions sinus et cosinus

• Une fonction périodique de période T est une fonction f telle que, pour tout nombre x de son ensemble de définition, f(x+T)=f(x). Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π. On a toujours cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x).

• Une fonction paire vérifie toujours f(-x)=f(x). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction cosinus est paire.

• Une fonction impaire vérifie toujours f(-x)=-f(x). Sa représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction sinus est impaire.

• La dérivée fonction dérivée de f(x)=cos(x) est f'(x)=-sin(x) et la dérivée de g(x)=sin(x) est g'(x)=cos(x).

Lien entre les fonctions exponentielle, sinus et cosinus

Comme nous l'avons vu dans ce cours, les fonctions exponentielle, sinus et cosinus sont des fonctions singulières et étonnantes qui possèdent de nombreuses propriétés. Ce n'est pas par hasard qu'on les retrouve dans l'étude de très nombreux phénomènes naturels. Mais ce n'est pas tout : ces fonctions sont elles-mêmes reliées entre elles ! Nous verrons ces liens en terminale et au niveau universitaire :

1. La formule e^ix=cos(x)+isin(x), où i est un nombre imaginaire tel que i²=-1, relie ces trois fonctions.

2. En restant dans les nombres bien réels cette fois, et en notant n! le produit des nombres entiers de 1 à n (par exemple, 4!=24), pour tout nombre x, on a :

angle

On remarque que le cosinus est formé par les puissances paires de l'exponentielle et le sinus par ses puissances impaires.
Les coefficients sont les mêmes, sauf une fois sur deux où ils sont opposés.

>>> Le produit scalaire de deux vecteurs >>>

Les fonctions en première

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