Cours de première
8 - Géométrie
Dans ce cours, nous allons d'abord voir 5 propriétés des figures géométriques.Muni des nombreux outils dont nous disposons désormais, nous allons démontrer ces propriétés étonnantes :
1. Le théorème d'Al-Kashi, qui permet de calculer des longueurs dans un triangle quelconque.
2. Un triangle formé par deux points d'un diamètre d'un cercle et un autre point de ce cercle est toujours rectangle.
3. Les sinus des angles d'un triangle quelconque et les longueurs de leurs côtés opposés sont proportionnels.
4. Les médianes d'un triangle sont concourantes.
5. Le centre de gravité d'un triangle, son orthocentre et le centre de son cercle circonscrit sont toujours alignés.
Nous verrons ensuite quelques transformations du plan
et des propriétés de ces transformations.1. Le théorème d'Al-Kashi
Le théorème d'Al-Kashi permet de calculer des longueurs dans un triangle quelconque lorsqu'on connaît la mesure d'un angle et les longueurs des côtés
adjacents à cet angle.
Le théorème d'Al-Kashi est plus puissant que le théorème de Pythagore
, car il ne nécessite pas la présence d'un angle droit !
Théorème
Dans un triangle ABC, on a toujours :
Démonstration
Remarquons d'abord que pour tout vecteur 
,
comme 
, on a
.
Dans un triangle ABC quelconque, on a donc :
D'où la formule du théorème.
2. Le cercle et le triangle rectangle
Propriété
Tout triangle formé par deux points du diamètre d'un cercle et un autre point sur le cercle est rectangle.
Autrement dit, un cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que (MA)⊥(MB).
Démonstration
Nous savons qu'un cercle de centre I et de rayon r est l'ensemble des points M tels que IM=r.
Prenons A et B deux points aux extrémités d'un diamètre de ce cercle : comme le centre du cercle est au milieu du diamètre, le cercle est l'ensemble des points M tels que IM=IA.
IM=IA est équivalent à IM²=IA², car des longueurs sont toujours positives, et donc à MI²-IA²=0, et donc à 
,
et donc aussi à 
, avec la troisième identité remarquable
.
Comme I est le milieu de [AB], on a 
.
IM=IA est donc équivalent à 
et donc à
en utilisant la relation de Chasles
.
Le cercle est donc l'ensemble des points M tels que .
C'est donc l'ensemble des points M tels que (MA)⊥(MB).
3. Les médianes d'un triangle sont concourantes
Propriété
Les médianes
d'un triangle se coupent toutes au même point et ce point est situé aux deux tiers des médianes en partant des sommets.
Démonstration
Soit G le point d'intersection des médianes issues de B et de C, et D le symétrique de A par rapport à G.
Avec le théorème des milieux
, ou la réciproque du théorème de Thalès
, on a (BD)//(GC) et (BG)//(DC).
Donc BDCG est un parallélogramme.
Donc le milieu S de [BC] est aussi le milieu de [GD].
Donc la droite (AD) coupe [BC] en son milieu, donc c'est une médiane du triangle ABC, donc les 3 médianes, qui passent toutes par G, sont concourantes.
De plus, comme AG=GD et que GS=SD, on a AG=GD=2GS donc AG=2GS donc G est situé aux deux tiers du segment [AS].
4. La droite d'Euler
Propriété
Dans un triangle ABC quelconque :
• le centre O du cercle circonscrit
• le centre de gravité
G
• l'orthocentre
H
sont toujours alignés.
Démonstration
Soit D le symétrique de A par rapport à O.
Comme B est un point du cercle de diamètre [AD], avec une propriété vue un peu plus haut, nous avons (AB)⊥(BD). De même, nous avons (AC)⊥(CD)
De plus, comme (CH) et (BH) sont des hauteurs du triangle, nous avons aussi (AB)⊥(CH) et (AC)⊥(BH).
Donc (BD)//(CH) et (CD)//(BH).
Donc BHCD est un parallélogramme.
Donc le milieu de [BC] est aussi le milieu de [DH]. Appelons I ce milieu. Comme G est le centre de gravité du triangle ABC, nous avons IG=(1/3)IA.
Comme I est le milieu de [DH], I est une médiane du triangle AHD, et comme IG=(1/3)IA, G est le centre de gravité de ce triangle.
Intéressons-nous maintenant à la médiane du triangle AHD issue de H : par définitions, elle passe par le centre de gravité G du triangle AHD et par le milieu du côté opposé.
Comme D est le symétrique de A par rapport à O, O est le milieu de [AD] et donc la médiane (HG) passe par O.
Les points O, G et H sont donc alignés.
5. La loi des sinus
Propriété
Dans un triangle ABC quelconque, si on note a=BC, b=AC et c=AB, on a toujours 
.
Démonstration
Appelons h la longueur de la hauteur issue de A. Nous avons 
et 
Donc 
et 
Donc 
.
Donc 
.
En utilisant l'une des deux autres hauteurs du triangle ABC, on peut obtenir une égalité similaire, ce qui nous prouve la double égalité.
Les transformations du plan
Une transformation du plan est une sorte de "fonction" qui, à tout point d'un plan, associe un autre point.
Exemples
Une symétrie axiale est une transformation du plan.
Une symétrie centrale en est une autre.
Voyons maintenant trois autres transformations : la translation, la rotation et l'homothétie.
La translation, la rotation et l'homothétie
Effectuer une translation de vecteur
consiste à déplacer tous les points d'un plan en suivant la direction, le sens et la longueur de .
Effectuer une rotation de centre O et d'angle orienté α consiste à faire tourner tous les points autour de O avec un angle orienté α. On a OA'=OA et
.
L'image d'un point A par une homothétie de centre O et de rapport k est le point A' tel que
(pour cette figure, k=0,5).
Propriétés
La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation conservent les longueurs.
Par contre, une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k|, les aires par k² et les volumes par |k|3.
Par exemple, si l'aire d'un triangle est de 100 cm², l'aire de l'image de ce triangle par une homothétie de rapport 3 est 900 cm².
La géométrie en première
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