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Cours de première S

9 - Géométrie

Dans ce cours nous allons voir 3 méthodes pour calculer une équation de droite et 3 méthodes pour calculer une équation de cercle.



Equation de droite

L'équation cartésienne d'une droite est une égalité qui relie l'ordonnée y à l'abscisse x de n'importe quel point de la droite. Par exemple y=2x+3 est une équation de droite. Le point A(0;3) appartient à cette droite.

Nous allons voir comment on obtient une équation de droite dans 3 cas différents, en fonction des données que l'on connait : à partir de deux points, à partir d'un point et d'un vecteur directeur, ou à partir d'un point et d'un vecteur normal.


1. Avec deux points

Si on connait les cooordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) dans un repère orthonormé, alors on peut calculer l'équation de la droite qui passe par ces deux points. L'équation sera de la forme y=mx+p. Nous devons trouver m et p.


Méthode

  • 1. On calcule le coefficient directeur avec la formule Formule coefficient directeur.
  • 2. On le remplace dans la formule y=mx+p.
  • 3. On remplace x et y par les coordonnées d'un point de la droite afin d'obtenir p avec une équation.
  • 4. On remplace p dans l'équation y=mx+p.

  • Exemple

    Equation de la droite passant par A(-3;7) et B(2;-3).

  • 1. calcul coefficient directeur.
  • 2. y=-2x+p.
  • 3. yA=-2xA+p donc 7=-2×(-3)+p donc p=1. On pourrait aussi faire le calcul avec xB et yB.
  • 4. On obtient y=-2x+1.


  • Entraînement

    Ecris l'équation de la droite qui passe par les points E(-2;-2) et F(1;13).

    y=x+



    2. Avec un point et un vecteur directeur

    Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur de même direction que la droite (on pourrait le placer sur la droite).

    Si on connait les coordonnées d'un point A appartenant à la droite et celles d'un vecteur directeur vecteur v de cette droite alors on peut dire que la droite est l'ensemble des points M(x;y) tels que les vecteurs vecteur AM et vecteur v sont colinéaires.


    droite


    Si on note (xA;yA) les coordonnées de A, (Vx;Vy) celles de vecteur v, et (x;y) celles de M, alors calcul coordonnées vecteur AM et avec la formule de colinéarité on a (x-xA)×Vy-(y-yA)×Vx=0. Comme on connait xA, Vy, yA et Vx on obtient, en développant, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

    Exemple
    Equation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur directeur vecteur u.

  • 1. Soit M(x;y) un point de la droite. vecteur u et coordonnées TM.
  • 2. vecteur u et vecteur TM sont colinéaires donc 3(y-5)-4(x+3)=0.
  • 3. On obtient 3y-15-4x-12=0. L'équation de la droite est -4x+3y-27=0.

  • Remarques
    - On n'est pas obligé d'écrire l'équation sous la forme y=mx+p. L'équation cartésienne s'écrit le plus souvent sous la forme ax+by+c=0.
    - Si une droite a pour équation ax+by+c=0 alors vecteur directeur est un vecteur directeur et inversement (démonstration).


    As-tu compris?

    Ecris l'équation cartésienne de la droite de vecteur directeur vecteur u et passant par le point E(-2;-2).

    x+ y+ =0



    3. Avec un point et un vecteur normal

    Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à n'importe quel vecteur directeur de la droite. C'est donc un vecteur dont la représentation est perpendiculaire à la droite.


    droite


    Si on connait les coordonnées d'un point A(xA;yA) appartenant à la droite et celles d'un vecteur normal vecteur n à cette droite, comme la droite est l'ensemble des points M(x,y) tels que les vecteurs vecteur n et coordonnées vecteur AM sont orthogonaux, en utilisant la formule formule calcul produit scalaire on obtient nX(x-xA)+nY(y-yA)=0 puis en développant, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

    Exemple
    Equation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur normal vecteur u.

  • 1. Soit M(x;y) un point de la droite. vecteur n et coordonnées TM.
  • 2. vecteur n et vecteur TM sont orthogonaux donc 3(x+3)+4(y-5)=0.
  • 3. On obtient 3x+4y-11=0.

  • Remarque
    Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0 alors coordonnées vecteur normal est un vecteur normal et inversement (démonstration).


    Entraînement

    Ecris l'équation cartésienne de la droite de vecteur normal vecteur u et passant par le point T(-5;-2).

    x+ y+ =0



    Equation de cercle

    1. Avec le centre et un point du cercle

    Considérons un cercle de centre A(xA;yA) et B(xB;yB) un point du cercle.

    Si B' est le symétrique de B par rapport à A, le cercle est l'ensemble des points M tels que vecteur et vecteur sont orthogonaux.

    cercle

    Comme égalité vecteurs, B'(2xA-xB;2yA-yB). (?)

    Donc coordonnées vecteur et coordonnées vecteur.

    Donc (2xA-xB-x)(xB-x)+(2yA-yB-y)(yB-y)=0. C'est en développant cette équation que l'on obtient l'équation du cercle.

    2. Avec les deux extrémités du diamètre

    Considérons un cercle dont on connait les coordonnées des deux extrémités A(xA;yA) et B(xB;yB) d'un diamètre.


    cercle

    Le cercle est l'ensemble des points M(x;y) tels que vecteur et vecteur sont orthogonaux.

    calcul coordonnnées et calcul coordonnnées.

    Comme produit scalaire on a (xA-x)(xB-x)+(yA-y)(yB-y)=0.
    En développant on obtient l'équation xAxB-xxA-xxB+x²+yAyB-yyA-yyB+y²=0.


    3. Avec le centre et le rayon

    L'équation précédente peut aussi s'écrire : x²-(xA+xB)x+xAxB+y²-(yA+yB)y+yAyB=0.
    Nous allons factoriser ce résultat avec une identité remarquable.

    calcul

    Soit Ω le milieu de [AB].

    cercle

    On a :

    calcul équation cercle



    Conclusion

    équation cercle


    Exemple
    Le cercle de centre S(1;-5) et de rayon 10 a pour équation (x-1)²+(y+5)²=100.

    Petite question

    Un cercle a pour équation cartésienne x²+y²-4x+2y-11=0.
    Quelles sont les coordonnées de son centre? Quel est son rayon?

    xC= yC= r=



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