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Cours de première S

9 - Géométrie analytique

La géométrie analytique est la géométrie avec des coordonnées dans des repères.

Dans ce cours, nous allons voir comment calculer une équation de droite et une équation de cercle dans un repère orthornormé.



Équation de droite

L'équation cartésienne d'une droite est une égalité qui relie l'ordonnée y à l'abscisse x de n'importe quel point de la droite.
Par exemple, y=2x+3 est une équation de droite.
Le point A(0;3) appartient à cette droite.

Nous allons voir comment calculer l'équation d'une droite dans 3 cas différents, en fonction des données qu'on connaît : à partir de deux points, à partir d'un point et d'un vecteur directeur, ou à partir d'un point et d'un vecteur normal.


1. Avec deux points

Si on connaît les coordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) dans un repère orthonormé, on peut calculer l'équation de la droite qui passe par ces deux points. L'équation est de la forme y=mx+p.
Nous devons trouver m et p.


Méthode

Exemple

Équation de la droite (AB) passant par A(-3;7) et B(2;-3).



As-tu compris ?

Écris l'équation de la droite qui passe par les points A(1;7) et B(3;9).

y=x+


2. Avec un point et un vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur de même direction que cette droite (on pourrait le placer sur la droite).

Si on connaît les coordonnées d'un point A appartenant à une droite (d) et celles d'un vecteur directeur vecteur v de (d) alors (d) est l'ensemble des points M(x;y) tels que les vecteurs vecteur AM et vecteur v sont colinéaires.


droite


Si on note (xA;yA) les coordonnées de A, (Vx;Vy) celles de vecteur v, et (x;y) celles de M, alors calcul coordonnées vecteur AM, et avec la formule de colinéarité, on a (x-xA)×Vy-(y-yA)×Vx=0.
Comme on connaît xA, Vy, yA et Vx, on obtient, en développant, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

Exemple
Équation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur directeur vecteur u.

Remarques
- On n'est pas obligé d'écrire l'équation sous la forme y=mx+p. L'équation cartésienne s'écrit le plus souvent sous la forme ax+by+c=0.
- Si une droite a pour équation ax+by+c=0, alors vecteur directeur est un vecteur directeur et inversement (démonstration).



As-tu compris ?

Écris l'équation cartésienne de la droite de vecteur directeur vecteur u passant par le point L(3;7).

x+ y+ =0


3. Avec un point et un vecteur normal

Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à n'importe quel vecteur directeur de la droite.
C'est donc un vecteur dont la représentation est perpendiculaire à la droite.


droite


Si on connaît les coordonnées d'un point A(xA;yA) appartenant à une droite (d) et celles d'un vecteur normal vecteur n à (d), comme (d) est l'ensemble des points M(x,y) tels que coordonnées vecteur AM et vecteur n sont orthogonaux, en utilisant la formule formule calcul produit scalaire, on obtient nX(x-xA)+nY(y-yA)=0, puis en développant, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

Exemple
Équation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur normal vecteur u.

Remarque
Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c=0, alors coordonnées vecteur normal est un vecteur normal et inversement (démonstration).



As-tu compris ?

Écris l'équation cartésienne de la droite de vecteur normal vecteur u et passant par le point R(-9;23).

x+ y+ =0


Équation de cercle

Voyons maintenant 3 méthodes pour calculer une équation de cercle

1. Avec le centre et un point du cercle

Considérons un cercle de centre A(xA;yA), B(xB;yB) un point du cercle, et B' le symétrique de B par rapport à A.

Le cercle est l'ensemble des points M tels que vecteur et vecteur sont orthogonaux.

cercle

Comme égalité vecteurs, B'(2xA-xB;2yA-yB) (?).

Donc coordonnées vecteur et coordonnées vecteur.

Donc (2xA-xB-x)(xB-x)+(2yA-yB-y)(yB-y)=0.
C'est en développant cette équation qu'on obtient l'équation du cercle.

2. Avec les deux extrémités d'un diamètre

Prenons maintenant un cercle dont on connaît les coordonnées des deux extrémités A(xA;yA) et B(xB;yB) d'un diamètre.


cercle

Le cercle est l'ensemble des points M(x;y) tels que vecteur et vecteur sont orthogonaux.

calcul coordonnnées et calcul coordonnnées.

Comme produit scalaire, on a (xA-x)(xB-x)+(yA-y)(yB-y)=0.
En développant, on obtient xAxB-xxA-xxB+x²+yAyB-yyA-yyB+y²=0.
Il reste à additionner les nombres connus et on obtient l'équation du cercle.



3. Avec le centre et le rayon

L'équation précédente peut aussi s'écrire : x²-(xA+xB)x+xAxB+y²-(yA+yB)y+yAyB=0.

Factorisons cette équation avec une identité remarquable.

calcul

Appelons Ω le milieu de [AB].

cercle

On a :

calcul équation cercle

Conclusion

équation cercle


Exemple
Le cercle de centre S(1;-5) et de rayon 10 a pour équation (x-1)²+(y+5)²=100.

Petite question

Un cercle a pour équation cartésienne x²+y²+16x-4y+52=0.

Quelles sont les coordonnées de son centre? Quel est son rayon?

xC=
yC=
r=





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