Cours de cinquième

2 - Les fractions

Nous avons vu précédemment ce qu'est une fraction $fraction$ , comment lire une fraction, comment calculer sa valeur et comment utiliser les fractions dans des problèmes.

Dans ce cours, nous allons voir une propriété sur les fractions, puis comment simplifier une fraction et la rendre irréductible $fraction irréductible$ .

Nous allons également voir une technique permettant de comparer des fractions sans calculer leur valeur.

Propriété des fractions

Théorème

Si on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre, cela ne change pas sa valeur.

Exemples

Prenons la fraction $\large{\frac{6}{8}}$.
Comme 6÷8=0,75, cette fraction est égale à 0,75.

1. Multiplication

Multiplions le numérateur et le dénominateur de $\large{\frac{6}{8}}$ par un nombre quelconque, par exemple par 5.
On obtient $\large{\frac{30}{40}}$.
Avec une calculatrice, on peut calculer 30÷40. Cela fait aussi 0,75.
Donc $\large{\frac{6}{8}}$=$\large{\frac{30}{40}}$.

Bien que les nombres qui composent $\large{\frac{6}{8}}$ et $\large{\frac{30}{40}}$ sont différents, on dit que ces fractions sont égales, car elles sont égales à un même nombre.

2. Division

Divisons maintenant le numérateur et le dénominateur de $\large{\frac{6}{8}}$ par 2.
On obtient $\large{\frac{3}{4}}$.
Comme 3÷4=0,75 on a aussi $\large{\frac{6}{8}}$=$\large{\frac{3}{4}}$.

Remarque

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par des nombres différents, les deux fractions obtenues ne sont pas égales.

As-tu compris ?

Simplification de fraction

Définition

Simplifier une fraction, c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres.

Comment simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre.

On doit donc trouver un nombre qui soit à la fois un diviseur du numérateur et du dénominateur.

Exemple

Pour simplifier $\large{\frac{24}{36}}$ on cherche un nombre qui soit à la fois un diviseur de 24 et de 36. On peut prendre 2, 3, 4, 6 ou 12.
Si on choisit 2, on divise 24 et 36 par 2. On obtient $\large{\frac{12}{18}}$.
Si on choisit 3, on obtient $\large{\frac{8}{12}}$.
Si on choisit 4, on obtient $\large{\frac{6}{9}}$.

As-tu compris ?

Fractions irréductibles

Vocabulaire

Lorsqu'il est impossible de simplifier une fraction, on dit qu'elle est irréductible.

Exemples

$\large{\frac{3}{2}}$ est irréductible, mais $\large{\frac{12}{15}}$ ne l'est pas.

Petite question

Technique pour rendre les fractions irréductibles

Pour rendre une fraction irréductible on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en un produit produit de nombres premiers puis simplifier par les nombres qui sont à la fois en haut et en bas.

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et par lui-même. Par exemple 3 est un nombre premier mais 4 n'en est pas un car 4 est divisible par 2. Les nombres premiers sont les nombres qui ne figurent pas dans les résultats des tables de multiplication. Les premiers nombres premiers sont 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Exemples
75 se décompose en 5×5×3.
105 se décompose en 5×7×3.
Donc la fraction irréductible égale à $\large{\frac{75}{105}}$ est $\large{\frac{5}{7}}$.

Entraînement

Comparaison de fractions

Pour comparer deux fractions (dire laquelle est la plus grande) on peut calculer leur valeur et comparer les nombres obtenus.

Une autre technique possible, et qui sera très utilisée en quatrième pour additionner ou soustraire des fractions, consiste à transformer l'écriture d'une fraction, voire des deux, afin que les deux fractions aient le même dénominateur.

La plus grande sera alors celle qui possédera le plus grand numérateur.

Exemples

1. Pour comparer $\large{\frac{5}{7}}$ et $\large{\frac{16}{21}}$ on écrit $\large{\frac{5}{7}}$ sous la forme $\large{\frac{15}{21}}$. Comme 15<16, $\large{\frac{5}{7}}$<$\large{\frac{16}{21}}$.

2. Pour comparer $\large{\frac{2}{3}}$ et $\large{\frac{3}{4}}$ on écrit $\large{\frac{2}{3}}$ sous la forme $\large{\frac{8}{12}}$ et $\large{\frac{3}{4}}$ sous la forme $\large{\frac{9}{12}}$.
Comme 8<9, $\large{\frac{2}{3}}$<$\large{\frac{3}{4}}$.

Comment trouver le dénominateur commun ?

Comme nous l'avons vu, pour comparer deux fractions, on doit transformer leurs écritures afin qu'elles soient écrites toutes les deux avec un dénominateur identique.

Méthode

Pour écrire deux fractions sous un même dénominateur :

1. On regarde si l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre. Dans ce cas, on multiplie le numérateur et le dénominateur de la fraction qui possède les plus petits nombres par ce multiple.
2. Si aucun des dénominateurs est un multiple de l'autre alors on multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième, et le numérateur et le dénominateur de la deuxième par le dénominateur de la première.

Exemples

1. $\large{\frac{13}{45}}$ et $\large{\frac{2}{5}}$
Comme 45 est un multiple de 5 on multiplie le numérateur et le dénominateur de $\large{\frac{2}{5}}$ par 9.

2. $\large{\frac{7}{8}}$ et $\large{\frac{2}{3}}$
On multiplie le numérateur et le dénominateur de $\large{\frac{7}{8}}$ par 3 et le numérateur et le dénominateur de $\large{\frac{2}{3}}$ par 8.

As-tu compris ?

>>> Les priorités dans les calculs >>>

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