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Cours de cinquième

2 - Les fractions

Nous avons vu précédemment ce qu'est une fractionfraction, comment lire une fraction, comment calculer sa valeur et comment utiliser les fractions dans des problèmes.

Dans ce cours, nous allons voir une propriété sur les fractions, puis comment simplifier une fraction et la rendre irréductiblefraction irréductible.

Nous allons également voir une technique permettant de comparer des fractionscomparer sans calculer leur valeur.

Propriété des fractions

Théorème

Si on multiplie ou divise le numérateurnumérateur et le dénominateurdénominateur d'une fraction par un même nombre, cela ne change pas sa valeur.

Exemples

Prenons la fraction \(\large{\frac{6}{8}}\).
Comme 6÷8=0,75, cette fraction est égale à 0,75.

1. Multiplication

Multiplions le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{6}{8}}\) par un nombre quelconque, par exemple par 5.
On obtient \(\large{\frac{30}{40}}\).
Avec une calculatrice, on peut calculer 30÷40. Cela fait aussi 0,75.
Donc \(\large{\frac{6}{8}}\)=\(\large{\frac{30}{40}}\).


Bien que les nombres qui composent \(\large{\frac{6}{8}}\) et \(\large{\frac{30}{40}}\) sont différents, on dit que ces fractions sont égales, car elles sont égales à un même nombre.

2. Division

Divisons maintenant le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{6}{8}}\) par 2.
On obtient \(\large{\frac{3}{4}}\).
Comme 3÷4=0,75 on a aussi \(\large{\frac{6}{8}}\)=\(\large{\frac{3}{4}}\).

Remarque

Si on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par des nombres différents, les deux fractions obtenues ne sont pas égales.


As-tu compris ?

Les fractions \(\large{\frac{5}{3}}\) et \(\large{\frac{35}{24}}\) sont-elles égales?

oui non



Simplification de fraction

Définition

Simplifier une fraction, c'est écrire cette fraction avec des plus petits nombres.

Comment simplifier une fraction

Pour simplifier une fraction, on divise son numérateurnumérateur et son dénominateurdénominateur par un même nombre.

On doit donc trouver un nombre qui soit à la fois un diviseurdiviseur du numérateur et du dénominateur.



Exemple

Pour simplifier \(\large{\frac{24}{36}}\) on cherche un nombre qui soit à la fois un diviseur de 24 et de 36. On peut prendre 2, 3, 4, 6 ou 12.
Si on choisit 2, on divise 24 et 36 par 2. On obtient \(\large{\frac{12}{18}}\).
Si on choisit 3, on obtient \(\large{\frac{8}{12}}\).
Si on choisit 4, on obtient \(\large{\frac{6}{9}}\).


As-tu compris ?

Question 1

Écris un nombre qui soit à la fois un diviseur de 12 et 8.



Fractions irréductibles

Vocabulaire

Lorsqu'il est impossible de simplifier une fraction, on dit qu'elle est irréductible.

Exemples

\(\large{\frac{3}{2}}\) est irréductible, mais \(\large{\frac{12}{15}}\) ne l'est pas.


Petite question

Essaie d'écrire \(\large{\frac{4}{12}}\) sous forme irréductible.

Numérateur :
Dénominateur :



Technique pour rendre les fractions irréductibles

Pour rendre une fraction irréductible on peut décomposer le numérateur et le dénominateur en un produitproduit de nombres premiers puis simplifier par les nombres qui sont à la fois en haut et en bas.

Un nombre premier est un nombre qui n'est divisibledivisible que par 1 et par lui-même. Par exemple 3 est un nombre premier mais 4 n'en est pas un car 4 est divisible par 2. Les nombres premiers sont les nombres qui ne figurent pas dans les résultats des tables de multiplication. Les premiers nombres premiers sont 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Exemples
75 se décompose en 5×5×3.
105 se décompose en 5×7×3.
Donc la fraction irréductible égale à \(\large{\frac{75}{105}}\) est \(\large{\frac{5}{7}}\).

Entraînement

(facile) Décompose 21 en produit de nombres premiers.

(Utilise la touche * pour écrire les multiplications)

21=


Comparaison de fractions

Pour comparer deux fractions (dire laquelle est la plus grande) on peut calculer leur valeur et comparer les nombres obtenus.

Une autre technique possible, et qui sera très utilisée en quatrième pour additionner ou soustraire des fractions, consiste à transformer l'écriture d'une fraction, voire des deux, afin que les deux fractions aient le même dénominateur.

La plus grande sera alors celle qui possédera le plus grand numérateur.

Exemples

1. Pour comparer \(\large{\frac{5}{7}}\) et \(\large{\frac{16}{21}}\) on écrit \(\large{\frac{5}{7}}\) sous la forme \(\large{\frac{15}{21}}\). Comme 15<16, \(\large{\frac{5}{7}}\)<\(\large{\frac{16}{21}}\).

2. Pour comparer \(\large{\frac{2}{3}}\) et \(\large{\frac{3}{4}}\) on écrit \(\large{\frac{2}{3}}\) sous la forme \(\large{\frac{8}{12}}\) et \(\large{\frac{3}{4}}\) sous la forme \(\large{\frac{9}{12}}\).
Comme 8<9, \(\large{\frac{2}{3}}\)<\(\large{\frac{3}{4}}\).

Comment trouver le dénominateur commun ?

Comme nous l'avons vu, pour comparer deux fractions, on doit transformer leurs écritures afin qu'elles soient écrites toutes les deux avec un dénominateur identique.

Méthode

Pour écrire deux fractions sous un même dénominateur :

Exemples

1. \(\large{\frac{13}{45}}\) et \(\large{\frac{2}{5}}\)
Comme 45 est un multiple de 5 on multiplie le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{2}{5}}\) par 9.

2. \(\large{\frac{7}{8}}\) et \(\large{\frac{2}{3}}\)
On multiplie le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{7}{8}}\) par 3 et le numérateur et le dénominateur de \(\large{\frac{2}{3}}\) par 8.


As-tu compris ?

Question 1

On souhaite comparer \(\large{\frac{3}{4}}\) et \(\large{\frac{5}{2}}\).

Sous quel dénominateur commun va-t-on écrire ces fractions ?





>>> Les priorités dans les calculs >>>


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