8 - Géométrie (Terminale S)

Les notions sur les vecteurs du plan se généralisent dans l'espace. Deux vecteurs sont colinéaires si ils ont la même direction (il existe un nombre k tel que l'un soit égal à k fois l'autre), et deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

Equation d'une droite (d) de l'espace

Pour déterminer l'équation d'une droite de l'espace de vecteur directeur et passant par , remarquons que cette droite (d) est l'ensemble des points tels que

et

soient colinéaires. et sont colinéaires si il existe un nombre k tel que , donc

donc

Ce dernier système est appelé équation paramétrique de (d).

Equation d'un plan de l'espace

Soit un vecteur normal à un plan P, un point de ce plan, et A le projeté orthogonal de M sur P. Les vecteurs et sont orthogonaux.

Donc si un point appartient au plan P, alors il existe un nombre d tel que . La dernière égalité est donc l'équation d'un plan. Quand on nous donne l'équation d'un plan sous cette forme (équation cartésienne), on peut tout de suite donner les coordonnées d'un vecteur normal au plan. Il suffit de lire les coefficients devant x, y et z.

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