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Cours de seconde

10 - Trigonométrie

La trigonométrie est la partie des mathématiques qui fait le lien entre les longueurs des côtés des triangles rectangles et les mesures de leurs angles.

Nous avons vu précédemment comment calculer des longueurs de côtés ou d'angles dans un triangle rectangle en utilisant le cosinuscosinus, le sinussinus et la tangentetangente. Nous allons maintenant nous intéresser à la façon dont les fonctions cosinus, sinus et tangente agissent.

Le cercle trigonométrique

Considérons un triangle rectangle placé comme ci-dessous dans un cercle de rayon 1 dont le centre est à l'origine d'un repère orthonormérepère orthonormé.


cercle trigonométrique

Un tel cercle s'appelle un cercle trigonométrique.

À chaque valeur de x correspond une longueur OC.
Il existe donc une fonctionfonction qui à tout angle x associe l'abscisse du point C.
Cette fonction est la fonction cosinus.



Lien avec la formule de quatrième
Comme nous venons de le voir, si C est à droite de O, alors le cosinus de x est la longueur OC.
On peut donc écrire cosinus, et comme OB=1, on a cosinus.
Avec le théorème de Thalèsthéorème de thales, cette formule reste vraie lorsque OB est différent de 1 (en faisant un agrandissement ou une réduction du triangle).
Donc le cosinus de x est toujours égal à la longueur du côté adjacent divisée par celle de l'hypoténuse.


Et le sinus dans tout cela ?
Le sinus de x est l'ordonnée du point B.
D'après le théorème de Pythagorethéorème de pythagore dans le triangle OCB rectangle en C, on a la formule :

relation trigonométrique


Et la tangente ?
La tangente d'un angle est le quotientquotient de son sinus par son cosinus.


Démonstration

D'après les formules de troisième, pour un angle donné on a :

formules trigonometrie

Dans la formule de la tangente en remplaçant Opposé par Sinus × Hypoténuse et Adjacent par Cosinus × Hypoténuse puis en simplifiant en haut et en bas par Hypoténuse on obtient

formules trigonometrie

(cacher)



On peut calculer la tangente d'un angle seulement si le cosinus de cet angle n'est pas nul.

formule tangente



As-tu compris ?

Donne une valeur approchée à 0,1 près de cos(x).

cercle trigonométrique


Valeurs remarquables

Les valeurs ci-dessous sont à apprendre et seront utiles pour la suite.
On peut s'aider du dessin pour les mémoriser.

Angle x 30° 45° 60° 90°
Cos(x) 1 cosinus angle cosinus angle cosinus angle 0
Sin(x) 0 sinus de angle sinus de angle sinus de angle 1

cercle trigonométrique




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