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Cours de première

9 - Géométrie analytique

La géométrie analytique, aussi appelée géométrie repérée, est la géométrie avec des coordonnéescoordonnées dans des repèresrepère.

Elle permet de calculer les coordonnées (la position) de points dans des plansplan munis de repères et de faire des démonstrations et des calculs de longueurs dans des figures géométriques.

Dans le cours de seconde, nous avons vu comment calculer les coordonnées du milieu de deux points, comment calculer les coordonnées d'un vecteur, la distance entre deux points et comment savoir si deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'on connaît leurs coordonnées.

Dans ce cours, nous allons voir comment calculer des équations de droites et de cercles dans un repère orthonormérepère orthonormé, et comment déterminer un vecteur directeur et un vecteur normal d'une droite à partir de son équation.

Équation de droite

L'équation cartésienne d'une droite est une égalité qui relie l'ordonnée y à l'abscisse x de n'importe quel point de la droite.
Par exemple, y=2x+3 est une équation de droite.
Le point A(0;3) appartient à cette droite, car si on remplace ses coordonnées dans l'équation de la droite, l'équation est vérifiée.

Nous allons voir comment calculer l'équation d'une droite dans 3 cas différents, en fonction des données que l'on connaît :
 • à partir de deux points.
 • à partir d'un point et d'un vecteur directeur.
 • à partir d'un point et d'un vecteur normal.

1. Avec deux points

Si on connaît les coordonnées de deux points A(xA;yA) et B(xB;yB) dans un repère orthonormérepère orthonormé, on peut calculer l'équation de la droite qui passe par ces deux points.
L'équation est de la forme y=mx+p : m est le coefficient directeurcoefficient directeur et p l'ordonnée à l'origineordonnée à origine.
Nous devons trouver m et p.


Méthode

Exemple

Équation de la droite (AB) passant par A(-3;7) et B(2;-3).



As-tu compris ?

Écris l'équation de la droite qui passe par les points A(1;7) et B(3;9).

y=x+

2. Avec un point et un vecteur directeur

Un vecteur directeur d'une droite est un vecteur de même direction que la droite.

Si on connaît les coordonnées d'un point A(xA;yA) appartenant à une droite (d) et celles d'un vecteur directeur vecteur v(vx;vy) de (d) alors (d) est l'ensemble des points M(x;y) tels que les vecteurs vecteur AM et vecteur v sont colinéairesvecteurs colinéaires.


droite


On a calcul coordonnées vecteur AM.
La formule de colinéaritéformule de colinéarité donne (x-xA)×vy-(y-yA)×vx=0.

Comme xA, vy, yA et vx sont des nombres connus, on obtient, en développantdévelopper une expression, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

Exemple
Équation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur directeur vecteur u.





As-tu compris ?

Écris l'équation cartésienne de la droite de vecteur directeur vecteur u passant par le point C(-4;-4).

x+ y+ =0


3. Avec un point et un vecteur normal

Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonalvecteurs orthogonaux à n'importe quel vecteur directeurvecteur directeur de la droite.
C'est donc un vecteur dont la direction est perpendiculaire à celle de la droite.


droite


Si on connaît les coordonnées d'un point A(xA;yA) appartenant à une droite (d) et celles d'un vecteur normal vecteur n à (d), comme (d) est l'ensemble des points M(x,y) tels que coordonnées vecteur AM et vecteur n sont orthogonaux, en utilisant la formulecoordonnées produit scalaire formule calcul produit scalaire, on obtient nX(x-xA)+nY(y-yA)=0, puis en développantdévelopper une expression, une équation avec x, y et des nombres : c'est l'équation de la droite.

Exemple
Équation de la droite qui passe par T(-3;5) et de vecteur normal vecteur u.



Entraînement

Écris l'équation cartésienne de la droite de vecteur normal vecteur u et passant par le point R(-9;23).

x+ y+ =0

Équation de cercle

Voyons maintenant 3 méthodes pour calculer une équation de cercle en fonction des données que l'on connaît.

1. Avec le centre et un point du cercle

Considérons un cercle de centre A(xA;yA), un point B(xB;yB) sur le cercle, et B' le symétrique de B par rapport à A.

Comme nous l'avons vu dans le cours précédent, le cercle est l'ensemble des points M tels que vecteur et vecteur sont orthogonauxvecteurs orthogonaux.

cercle

Comme égalité vecteurs, B'(2xA-xB;2yA-yB) (?).

Donc coordonnées vecteur et coordonnées vecteur.

Donc (2xA-xB-x)(xB-x)+(2yA-yB-y)(yB-y)=0.
En développant cette équation, on obtient l'équation du cercle.

2. Avec les deux extrémités d'un diamètre

Prenons maintenant un cercle dont on connaît les coordonnées de deux extrémités A(xA;yA) et B(xB;yB) d'un diamètre (un diamètre d'un cercle est un segment qui relie deux points du cercle symétriques par rapport à son centre).


cercle

Le cercle est également l'ensemble des points M(x;y) tels que vecteur et vecteur sont orthogonaux.

calcul coordonnées et calcul coordonnées.

Comme produit scalaire, on a (xA-x)(xB-x)+(yA-y)(yB-y)=0.
En développant, on obtient xAxB-xxA-xxB+x²+yAyB-yyA-yyB+y²=0.
Il reste à additionner les nombres connus et on obtient l'équation cartésienne du cercle.


3. Avec le centre et le rayon

L'équation précédente peut aussi s'écrire : x²-(xA+xB)x+xAxB+y²-(yA+yB)y+yAyB=0.

Factorisons cette équation avec une identité remarquableidentités remarquables.

calcul

Appelons Ω le milieu de [AB].

cercle

On a :

calcul équation cercle

Conclusion

équation cercle


Exemple
Le cercle de centre S(1;-5) et de rayon 10 a pour équation (x-1)²+(y+5)²=100.

Petite question

Un cercle a pour équation cartésienne x²+y²+6x-10y-47=0.

Quelles sont les coordonnées de son centre? Quel est son rayon?

xC=
yC=
r=



Coordonnées d'un vecteur directeur et d'un vecteur normal à une droite

Parfois, il est utile de connaître les coordonnées d'un vecteur directeur ou d'un vecteur directeur d'une droite à partir de son équation. Comme nous allons le voir ci-dessous, cela se lit très facilement.

Vecteur directeur

Comme nous l'avons vu, un vecteur directeur d'une droite est un vecteur qui possède la même direction que cette droite.
Si on connaît l'équation de la droite sous la forme y=mx+p, où, mieux, sous sa forme cartésienne ax+by+c=0, il est possible de lire les coordonnées d'un tel vecteur à partir de l'équation : un vecteur directeur de la droite est en effet le vecteur vecteur.

En effet, considérons le vecteur qui passe par deux points M et N d'une droite (d) d'équation cartésienne ax+by+c=0.
Le vecteur vecteur MN est un vecteur directeur de cette droite vu qu'il est dessus.

Comme M∈(d) et N∈(d), on a axM+byM+c=0 et axN+byN+c=0.

En soustrayant ces deux équations, on obtient a(xM-xN)+b(yM-yN)=0.
Donc calcul, et en multipliant par -1, calcul.
Donc vecteur MN a pour coordonnées vecteur MN.

Le produit d'un vecteur directeur d'une droite par un nombre réel est un autre vecteur directeur de cette droite.
Multiplions le vecteur vecteur MN par a, puis divisions le par yN-yM : on obtient un vecteur vecteur v qui est un nouveau vecteur directeur à la droite. Ses coordonnées sont coordonnées vecteur v.

Conclusion
vecteur v

Vecteur normal

Parfois, il peut être pratique de lire les coordonnées d'un vecteur normal à une droite à partir de son équation cartésienne.
De telles coordonnées sont très faciles à lire : si une droite a pour équation ax+by+c=0, alors vecteur normal est un vecteur normal.

En effet, un vecteur normal à une droite est un vecteur dont la direction est perpendiculaire à celle de la droite.
Il est donc normal à tout vecteur directeur de cette droite, en particulier au vecteur coordonnées vecteur v.
On a donc coordonnées vecteur v. Comme a×(-b)+b×a=0, vecteur normal est un vecteur normal.

Conclusion
vecteur v




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